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一、两函数正交的定义：三维空间中二矢量正交：0RrRrRrRrRr31iii332211N维空间中二矢量正交：0vuvuiN1ii对于二实函数)x(),x(21，也可看成二矢量，但因)x(),x(21随x连续变化，原来取和变成积分，这时正交定义为：0dx)x()x(21类似的有：0d)r()r(21，积分对r变化的全部区域进行若)r(),r(21是复函数，且满足关系式：0d)r()r21（全部区域则称为两函数)r(),r(21相互正交。例如：动量本征函数)r(prpi2/3e)2(1，则：0)pp(d)r()r(pppp这就是说属于动量算符不同本征值的两个本征函数)r(),r(pp'相互正交。二、厄米算符属于不同本征值的本征函数正交1.非简并情况：设n321,,,是厄米算符Fˆ的本征函数，它们所属本征值n321,,,各不相等，则：0dk)k(证明：因kkkFˆ；Fˆ，则有：d)Fˆ(kkkddkkdFˆkdk而d)Fˆ(kdFˆk则：dkkdk即：0d)(kk而k所以：0dk（对于连续谱的情况同样可证）这就证明了无论Fˆ的本征值组成分立谱还是连续谱，属于不同本征值的本征函数都是正交的。说明：假若1dkk，则：k,1k,0dkk于是称n321,,,为厄米算符Fˆ的正交归一本征函数系。假若Fˆ的本征值组成连续谱，则代替上式有：)(d'''',,0于是称}{为厄米算符Fˆ的正交归一本征函数系。2.简并情况：如果Fˆ的一个本征值n是f度简并的，既有f个（而不是一个）本征函数nf3n2n1n,,,都属于相同的本征值n，而且是线性无关的，则有：ninniFˆf21i、、于是上面的证明不再成立。一般说这些函数并不一定正交。但我们总可以用2f个常数jiA把这f个函数线性组合成f个新的线性独立的待定函数nj，即：njnifijjiA，f3,2,1j其中nj仍然是Fˆ的本征函数（迭加原理），即：Fˆnj=Fˆnif1ijiAnif1ijiFˆAnif1ijinAnjn使新函数nj组成正交归一系应满足的条件为：d...