Ch_5随机变量序列的极限(1).pptVIP免费

第五章随机变量序列的极限本章要点一、大数定律二、中心极限定理1.依概率收敛的定义§5.1大数定律2.独立同分布情形下的大数定律1.依概率收敛定义5.1设是随机变量序列,如果存在1,,,nXX一个常数,使得对任意一个,总有c0lim1,nnPXc那么称序列依概率收敛于,记作|1,2,3,nXnc,PnXc或等价地lim0.nnPXc考察频率的稳定性率为,AnNfAn在重贝努利试验中,设事件发生了次,则nAAN~,ANBnp其中那么事件发生的频.pPAA而且.PANpn频率稳定性的证明在重贝努利试验中,事件发生的次数nA~,,ANBnp于是,1,AAENnpDNnpp其中.pPA进一步事件发生的频率是个随机变AANn量,且1,.AAppNNEpDnnn由切比雪夫不等式知,对任意的,有021ε0εnAppNPpnn因此由收敛定义得:.PANpn2.独立同分布情形下的大数定律定理5.3设是独立同分布的随机变量序列,1,,,nXX并且211,,EXDX则11.ˆnPiiXXn也即lim0.nPX.PXEX因为,所以上式也可写成EX⑴若,1~1,XBp⑵,1~XE例1设是独立同分布的随机变量序列,1,,,nXX问依概率收敛于什么值?X解⑴,所以依概率收敛11~1,XBpEXpX⑵,所以依概率收敛于111~XEEXX1.于.p例2频率的稳定性:在次重复独立试验中,设随机n变量1,0iX事件在第次试验中发生Ai事件在第次试验中不发生Ai那么次重复试验中发生的频率为nA11,nAniiNfAXnn于是可以表示为PANpn11.nPiiXpEXn频率的稳定性可以用下面的贝努利大数定律来表示:贝努利大数定律（定理5.4）设独立同分布,且,1,,,nXX~1,iXBp则.PXp§5.2中心极限定理定理5.5（独立同分布情形下的中心极限定理）设独立同分布的随机变量序列,12,,,,nXXX且2,0,iiEXDX则对任意的实数,,x总有12lim.niinXnPxxn进一步说明⑴记,则12niiXnYn0,1;nYN⑵记,则1niiZX2,.nZNnn所以,⑴式即为0,1.nZEZYNDZ⑶211,,nniiXXNnn0,1./nXXnNn或例3对某据点进行...