4_24_协方差与相关系数.pptVIP免费

《概率统计》下页结束返回前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.§4.4协方差和相关系数下页《概率统计》下页结束返回任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y),[Covariance]定义为⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定义下页《概率统计》下页结束返回Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见，若X与Y独立，Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即下页《概率统计》下页结束返回若X1,X2,…,Xn两两独立,，上式化为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.随机变量和的方差与协方差的关系),(2)()(11jininijiiiXXCovXDXDniniiiXDXD11)()(下页《概率统计》下页结束返回二、相关系数为随机变量X和Y的相关系数.定义:设D(X)>0,D(Y)>0,)()(),(YDXDYXCovXY称在不致引起混淆时，记为.XY下页《概率统计》下页结束返回例1.求Cov(X,Y),ρXY解：E(X)=2,E(Y)=2；E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2D(X)=1/2,D(Y)=1/2E(XY)=Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6;31212161)()(),(YDXDYXCovXY¼½¼Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4623ijjijipyx1）相关系数的计算下页《概率统计》下页结束返回例2.设随机变量X的方差D(X)≠０且Y=aX+b(a≠０),求X和Y的相关系数ρXY.解：2()()(),DYDaXbaDX(,){[()][()]}CovXYEXEXYEY{[()][()]}EXEXaXbEaXb2[()]aEXEX().aDX)()(),(YDXDYXCovXY2()()()aDXDXaDX||aa1,0.10aa下页《概率统计》下页结束返回2.X和Y独立时，=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故)()(),(YDXDYXCov=00但由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.2）相关系数的性质及其与独立性的关系11||.下页《概率统计》下页结束返回例3.设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cos(X)，求X，Y的相关系数。因而=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.解：不难求得Cov(X,Y)=0.相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.)0)()cos()(,0)((2/12/1dxxfxxXYEXE因为下页《概率统计》下页结束返回但对下述情形，独立与不相关等价若(X,...