4_3_协方差与相关系数.pptVIP免费

《概率统计》下页结束返回§4.3协方差和相关系数1.协方差§4.4矩和协方差矩阵2.相关系数下页前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.《概率统计》下页结束返回一、协方差与相关系数的定义Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.1.定义设(X,Y)为二维随机变量.若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，下页则称它是随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y)，即而当D(X)>0,D(Y)>0时，称(,)()()XYCovXYDXDY为随机变量X与Y的相关系数或标准协方差.当XY=0时，称随机变量X与Y不相关.二.计算协方差的一个简单公式Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)《概率统计》下页结束返回(6)对任意三个随机变量X,Y,Z，有(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)三、协方差的性质(5)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常数下页(1)若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0.(2)对任意二维随机变量(X,Y),有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)(4)Cov(X,a)=0,a是常数Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(X,Z)《概率统计》下页结束返回例1.设(X,Y)的联合分布如右表，求Cov(X,Y),ρXY.解：计算得E(X)=2,E(Y)=2,E(X2)=9/2,E(Y2)=9/2,D(X)=1/2,D(Y)=1/2,Cov(X,Y)=23/6–4=-1/6,.31212161)()(),(YDXDYXCovXY1/41/21/4Y123101/61/1221/61/61/631/121/60X1/41/21/4,623)(ijjijipyxXYE1）相关系数的计算下页于是得《概率统计》下页结束返回例2.设随机变量X的方差D(X)≠0,且Y=aX+b(a≠0),求X和Y的相关系数ρXY.解：2()()().DYDaXbaDX(,){[()][()]}CovXYEXEXYEY{[()][()]}EXEXaXbEaXb2[()]aEXEX().aDX)()(),(YDXDYXCovXY2()()()aDXDXaDX||aa1,0.10aa下页《概率统计》下页结束返回3.X和Y独立时，=0，即X与Y不相关，但其逆不真.四、相关系数的性质及其与独立性的关系11||.下页2.充分必要条件是P{Y=aX+b}=1，其中a(≠0),b为常数.||1当=1时，有a>0;当=-1时，有a<0.例3.设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cos(X)，求X，Y的相关系数.解：显然E(X)=0,而()[()]EXYEXCosX1/21/2cos()()0.xxfxdx因而ρ=0，即X和Y不相关.但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立.《概率统计》下页结束返回221,1(,).0,xyfxy其它()(,)EXxfxydxdy121210.xxdx(,)()()()CovXYEXYEXEY22111110,xxxdxydy证明：(1)因为同理E(Y)=0....