3_5两个随机变量函数的分布.ppt

3.4 条件分布,条件概率公式：P（B|A）=P（AB）/P（A），P（A）0,称为在Y=yj的条件下，X的条件分布。,一、离散型随机向量（X，Y）的条件分布,1.定义 设离散型随机向量（X，Y）的联合分布列为,在已知Y=yj的条件下（PY=yj0），X的条件概率,类似地，当PX=xi0时,2.条件分布的性质：,（1）PX=xi|Y=yj0,（2）,pij=pX=xi,Y=yj(i,j=1,2,),在X=xi的条件下，Y的条件分布为,解：(1)在X=1条件下Y的条件概率分布为：,所以在X=1条件下Y的条件分布为,(2),例1.已知随机向量（X，Y）的联合分布，求：（1）PY=yj|X=1；（2）PX=xi|Y=1,二、二维连续型（X，Y）的条件分布,1.定义 设f(x,y)为(X，Y)的联合概率密度，fX(x)为X的边缘概,率密度，对于固定的x，如果fX(x)0，则在X=x的条件下，随,机变量Y的条件概率密度,类似地，对于固定的y，如果fY(y)0，则在Y=y的条件下，X,的条件分布函数及条件概率密度为,例3.已知二维随机变量（，）的联合分布密度为：,求条件密度函数,解：（1）,其它。,故在0y1时，,在0 x1时，,3.5 二维随机变量函数的分布,已知（X，Y）的概率分布，求其函数Z=g(X,Y)的概率分布,内容：,要点：,一、离散型二、连续型（和的分布）,要求：,掌握基本方法,下页,一、离 散 型,例1.已知（X,Y)的联合分布,律求Z=X+Y的概率分布.,解：Z=X+Y的所有可能取值为：-1,0,2,3,5,且,PZ=-1=PX+Y=-1=PX=-1，Y=0=1/10,PZ=0=PX+Y=0=PX=-1，Y=1=1/20,PZ=2=PX+Y=2=PX=-1，Y=3+PX=2，Y=0=3/20+3/10,pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10,问题（1）Z=XY 的的概率分布？,下页,二维离散型随机变量和的分布,问题（2）若(X,Y)的联合分布列为,则Z=X+Y的分布如何表示?,例 2.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为,下页,与,Poisson分布，令Z=X+Y，试求随机变量Z的分布.,解：由随机变量X与Y的取值都是0，1，2，可知随,机变量Z=X+Y的取值也是0，1，2，所以,下页,由Poisson分布的定义，知Z=X+Y服从参数为,的Poisson分布.,二、连 续 型,问题：已知(X,Y)的联合密度f(x,y),求Z=g(X,Y)的概,下页,率密度fZ(z).,一般方法分布函数法,(1)先求分布函数,其中,(2)根据 求出密度函数,例1.设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为,下页,解：,由于X与Y相互独立，所以,其它,求随机变量Z=X+Y的概率密度,下页,其它,x+y=z,当z0时，,当 时，,于是，,例2.设随机变量和相互独立且均服从(0,1),求,的概率密度,解：由于和相互独立且都服从(0,1)，所以(X,Y)的联合密度为：,下页,设Z的分布函数为,若z0，则,若z0，,所以，,下页,(一)已知(X,Y)的联合密度f(x,y),求Z=X+Y 的概率密,下页,度 fZ(z).,若(X,Y)的联合分布列为,则Z=X+Y的分布为,(一)已知(X,Y)的联合密度f(x,y),求Z=X+Y 的概率密,下页,度 fZ(z).,根据分布函数定义有,对z求导，得Z的概率密度fZ(z)为,下页,由对称性得,卷积公式：若X，Y相互独立，则 f(x,y)=fX(x)fY(y)，,代入上式，可得,注：在求积分时，是针对于每个固定的z对x(或y)求积分,积分变量的积分限要通过已固定的z来确定.,解:X、Y 的概率密度,例3.设X、Y的相互独立，且都在0，1上服从均匀分布,求Z=X+Y的分布。,下页,设随机变量Z的概率密度为fZ(z)，则有,下页,下页,所以,