3_23第二节边缘分布.ppt

一、边缘分布函数的概念二、离散型随机变量的边缘分布列三、连续型随机变量的边缘分布概率密度四、随机变量的独立性,3.2 边 缘 分 布,下页,一、边缘分布函数的概念,设（X，Y）的联合分布函数F（x,y）,则 X 和 Y 的边缘分布函数 FX(x),FY(y)分别为:,下页,二、离散型二维随机向量的边缘分布,(i=1,2,)(j=1,2,),如,下页,二、离散型二维随机向量的边缘分布,设(X,Y)的联合分布列为 pij=PX=xi,Y=yj,(i=1,2,)(j=1,2,),则(X,Y)的边缘分布列为,FY(y)=F(+,y)=,FX(x)=F(x,+)=,(X,Y)的边缘分布函数为：,即,下页,Y的分布列为,X的分布列为,例1.已知随机向量（X，Y）的分布如下表，求关于X 和Y 的边缘分布。,下页,三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数,设（X，Y）的联合概率密度 f(x,y),由于,所以,即,的几何意义如右图.,其值表示红曲边梯形的面积.,下页,三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数,即若（X，Y）的联合概率密度 f(x,y),则,例2.设（X，Y）服从区域 D：抛物线y=x2和直线y=x所围成的区域上的均匀分布，求（X，Y）的联合、边缘概率密度。,下页,解:由于D的面积为,故（X，Y）联合概率密度为,（X，Y）边缘概率密度：当0 x1时,当0y1时,即,即,下页,例3.已知随机向量（，）的联合密度函数为,求 X,Y的边缘概率密度。,解：当x0时,当x 0时,即,下页,例3.已知随机向量（，）的联合密度函数为,求 X,Y的边缘概率密度。,解：当y0时,当y 0时,即,下页,例4.已知随机向量（，）的联合分布函数为,求（）常数a，b，c；（）联合密度函数 f(x,y)；（）X,Y的边缘分布函数；（4）PX2。,解：(1)由F(-,0)=0,F(0,-)=0 F(+,+)=1 得：,解得,(2)f(x,y),下页,解得,(2)f(x,y),(3),例4.已知随机向量（，）的联合分布函数为,求（）常数a，b，c；（）联合密度函数f(x,y)；（）X，Y的边缘分布函数；（4）PX2。,(4)PX2=1-FX(2),下页,解：令,可见,X N（1，12),Y N（2，22),例5.设（X，Y）服从N（1，12；2，22；），求边缘密度。,下页,例6.设（X，Y）概率密度为下列表达式，求其边缘密度。,-x+,-y+,解：,同理，,即X N（0，1),Y N（0，1)但（X,Y)不服从二维正态分布。,下页,(X,Y)联合分布,（X，Y）边缘分布,一般,F(x,y)=PX x,Yy,FX(x)=PX x,Y F Y(y)=PX,Y y,离散型,F(x,y)=,PX=xi,Y=y j=pi j,pi.=PX=xi=,p.j=PY=yj=,连续型,下页,四、随机变量的独立性,1.定义 设（X，Y），F（x，y），FX（x），FY（y）,若 对所有的 x，y 有,则称随机变量X与Y是相互独立的。,2.离散型随机向量,若（X，Y）的所有可能取值为（xi，yj）,（i，j=1，2，）,则 X 与 Y 相互独立的充分必要条件是对一切 i，j=1,2,即,有,下页,即,例1已知（X，Y）的边缘分布律，且X与Y 相互独立，求（X，Y）的联合分布律。,解：由独立性 p11=p1 p1=1/6，p23=p2 p3=2/18,依次类推可得,下页,例2设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）的联合分布及关于X和Y的边缘分布中的部分数据，请补充下表：,1/24,1/4,3/4,1/12,1/3,1/2,3/8,1/4,下页,例3设随机变量（X,Y)在矩形区域G=(x,y)|0 x2,0y1，上服,求 随机变量U和V的联合分布,并判断U和V是否独立。,解：区域G如下图,PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY,PU=0,V=1=PXY,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X2Y=PYX2Y,因为（X,Y）在G上均匀分布所以其联合密度为,从均匀分布，定义随机变量,下页,PU=0,V=0=PXY,X2Y=PXY1/4,PU=0,V=1=PXY,X2Y=0,PU=1,V=0=PXY,X2Y=PYX2Y=1/4,PU=1,V=1=1-1/4-1/4=1/2,(U,V)的联合分布与边缘分布为,PU=0,V=1 PU=0PV=1,U和V不独立。,例3设随机变量（X,Y)在矩形区域G=(x,y)|0 x2,0y1，上服,