3_3随机变量的独立性.ppt

一、随机变量的独立性的定义,3.3 随机变量的独立性,下页,二、随机变量的独立性的判定,下页,引例.口袋中有20只球，编号依次为 1,2,3,20，现从任取一球，记录球的编号为X，并将该球放回；然后再从袋中任取一球，记录第二次取得的球编号为Y.显然，X与Y的取值互不影响，即有,3.3 随机变量的独立性,设二维随机向量(X,Y)的分布为F(x，y)，边缘概率密度分别为FX(x)，FY(y)，若对所有的 x，y 都有,则称随机变量X与Y是相互独立的.,即,下页,一、随机变量的独立性的定义,二、随机变量的独立性的判定,1.离散型随机变量的独立性,若(X,Y)的所有可能取值为(xi,yj),(i，j=1，2，)，,则 X与Y相互独立的充分必要条件是对一切 i，j=1,2,，都有,下页,即,例1已知(X,Y)的边缘分布律，且X与Y 相互独立，求(X,Y)的联合分布律.,例1已知(X,Y)的边缘分布律，且X与Y 相互独立，求(X,Y)的联合分布律.,解：由X与Y 相互独立得,从而得(X,Y)的联合分布为,下页,p11=p1 p1=1/6，p23=p2 p3=2/18，,例2设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布及关于X和Y的边缘分布中的部分数据，请补充下表：,1/24,1/4,3/4,1/12,1/3,1/2,3/8,1/4,下页,2.连续型随机变量独立性的判定,若(X,Y)的联合密度函数 f(x,y)处处连续，则X和Y相互独立的充分必要条件是 f(x,y)=fX(x)fY(y).,例3已知(X,Y)的联合概率密度,试判断X,Y是否独立.其中,解：因为,由 fX(x)fY(y)=f(x,y)知X与Y相互独立.,独立,下页,例4一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:小时)，已知X和Y的联合分布函数,问X与Y是否相互独立？,解:计算得,由于,故X与Y相互独立.,下页,例5设随机变量X和Y相互独立且都在0,1上均匀分布，求方程,有实根的概率,解：由于X和Y均在0,1上均匀分布，所以,由X和Y相互独立，得,要使方程,有实根，须,P方程有实根=,下页,习3_4.设随机向量X,Y的分布如下(右)，又已知PXY=0=1，求(X,Y)的联合分布，并判定X与Y是否相互独立.,X与Y是不独立.,再由边缘分布律的定义可求得其它 pij(略).,下页,解：设随机向量(X,Y)的联合分布如右表.,p11,p12,p21,p22,p31,p32,由PXY=0=1，知,p11+p21+p22+p31=1,从而得p12+p32=0,即p12=p32=0,O,O,p11=1/4 p12=0 p21=0 p22=1/2 p31=1/4 p32=0,作业：71页 10，11，12，13,结束,三、二维连续型随机变量边缘概率密度函数,设（X,Y）的联合概率密度为 f(x,y),由,得,即,的几何意义如右图.,其值表示红曲边梯形的面积.,下页,