2_4随机变量函数的分布.pptVIP免费

《概率统计》下页结束返回§２.4随机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布二二连续型随机变量函数的分布下页《概率统计》下页结束返回如§2.4随机变量函数的分布§2.4随机变量函数的分布XY内容：已知X的概率分布，求其函数Y=g（X）的概率分布。球的体积：Y=4/3πX3；当X～N（μ，σ2）时，Y～N（0，1）一、X为离散型随机变量二、X为连续型随机变量设y=g(x)为x的函数，X为随机变量。则Y=g(X)也是一个随机变量，且当X取值x时,Y取值y=g(x)。下页《概率统计》下页结束返回例1已知X的概率分布为X-10125P0.30.10.20.150.25求1）Y=2X+1；2）Y=X2的概率分布。解1）Y-113511P0.30.10.20.150.252）Y01425P0.10.3+0.20.150.25一、离散型随机变量函数的分布若X是离散型的，则Y=g（X）也是离散型随机变量，且它的取值为yk=g（xk），其分布可以直接由X的分布求得。下页《概率统计》下页结束返回一般地:1）若yk的值全不相同，则P{Y=yk}=P{X=xk}．则Yy1y2…yk…Pp1p2…pk…即若X的概率分布为Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…2）若yk中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并，再根据加法定理把对应的概率pk相加。下页《概率统计》下页结束返回定理设连续型随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞＜x＜∞,又设函数y=g(x)处处可导且g(x)严格单调,则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为1.公式法1.公式法其他,0,)]([yyhyhfyfXY其中=Min[g(-∞),g(+∞)],=Max[g(-∞),g(+∞)],h(y)是g(x)的反函数。二、连续型随机变量函数的分布二、连续型随机变量函数的分布《概率统计》下页结束返回例2.设X～U(-π/2,π/2)，求Y=sinX的概率密度。解:X的概率密度为其他,022,1)(xxf由于y=sinx在(-π/2,π/2)内处处可导且严格单调,其它,01||,11|(y)h'|)]([)(2YyyyhfyfX下页()arcsin(),xhyy其反函数为量，其概率密度为则Y=sinX是连续型随机变《概率统计》下页结束返回例3.设X～N(μ,σ2)，求证Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。证:X的概率密度为xexfxX,21)(222)(由y=g(x)=ax+b解得x=h(y)=(y-b)/a,又g(x)可导且导数与a同号，h’(y)=1/a,从而得yabyfayhfyfXX,)(||1|(y)h'|)]([)(Yyaabyea,))(2))((||2122即即YY～～NN((aa++bb,(,(aaσ)σ)22))。。须记住这个结果！须记住这个结果！下页《概率统计》下页结束返回例4.设X～N(μ,...