chapter2.6.pptVIP免费

一、写出本征问题势场为：ax,ax,0)x(U区域I（阱内，ax）方程为：)x(E)x(dxd2II222(1)区域II、III（阱外，ax）方程为：)x(E)x()Udxd2()III(II)III(II0222(2)其中0U。波函数的边界条件是：)a()a(III，)a()a(IIII(3)二、求解本征方程我们令2E2，20)EU(2'(4)则：)x(E)x(dxd2II222的解为:xixiIBeAe)x(ax(5))x(E)x()Udxd2()III(II)III(II0222的解为:x'x'IIe'Be'A)x(ax(6)x'x'IIIe''Be''A)x(ax(7)由(6)-(7)式和波函数的有限性知:0'B,0''A，即：x'IIe'A)x(axx'IIIe''B)x(ax又由于0U，则：20)EU(2'于是：0)x()x(IIIII(8)而)a()a(III，)a()a(IIII；xixiIBeAe)x(则：0BeAe0BeAeaiaiaiai(9)于是A、B不能全为零的充分必要条件为：0eeeeaiaiaiai，即：0)a2sin(解之得：a2n，,....2,1,0n(10)将其代入到0BeAe0BeAeaiaiaiai，得：0BeAe2/in2/in即:B)1(A1n代入xixiIBeAe)x(中，得：,..5,3,1n,xa2ncosD,...6,4,2n,xa2nsinC)x(Iax(11)其中0n，0x为平凡解，无意义；,...2,1n不给出新的解。而0)x()x(IIIII则利用归一化条件1dx2n得：a1DC。于是体系的本征函数：ax0ax,5,3,1nxa2ncosa1ax6,4,2nxa2nsina1)x(n(12)又由于2E2和a2n，则对应体系本征函数的本征值为:22222222na8n)a2(2nE(,...3,2,1n)(13)说明：由于2nsinxa2ncos2ncosxa2nsin)ax(a2nsin，则一维无限深势阱中粒子的定态波函数可表述为:ax0axe)ax(a2nsina1)t,x(/tiEnn(14)三、讨论1.能量量子化2222na8nE,3,2,1n其特征为：(1)n叫做主量子数，每一个可能的能量称为一个能级，1n称为基态，粒子处于能量最低的状态，即：0a8EE2221min，称为零点能；(2)能量是分立的，相邻能级间距：222n1nna8)1n2(EEE所以当n时，相邻能级的相对间距：0n2EEnn当n很大时，能级可视为连续，这是经典极限时的情况，即...