20130216192531_610842673479.pptVIP免费

4.6惯性定律与正定二次型1.惯性定律2.正定二次型1.惯性定律化二次型为标准形，所用可逆线性变换不同，化成的标准形一般也不同．那么，标准形中哪些量是由二次型本身唯一确定的，而不依赖所作的变换？定理1(惯性定律)实二次型经过任何可逆线性变换化为标准形，不但非零项的项数一定(它等于二次型的秩)，而且正项、负项的项数也分别相同．标准形的正项项数p叫做二次型的正惯性指(数)标；负项项数q叫做二次型的负惯性指(数)标．这里，p+q=r(r为二次型的秩).定义1若二次型f=XTAX对于任意非零的n维向量X，恒有f=XTAX>0,则称f=XTAX为正定二次型，并称A为正定矩阵.若二次型f=XTAX对于任意非零的n维向量X，恒有f=XTAX0,≧则称f=XTAX为半正定二次型，并称A为半正定矩阵.221212(,)fxxxx2正定二次型若二次型f=XTAX对于任意非零的n维向量X，恒有f=XTAX<0,则称f=XTAX为负定二次型，并称A为负正定矩阵.若二次型f=XTAX对于任意非零的n维向量X，恒有f=XTAX0,≦则称f=XTAX为半负定二次型，并称A为半负正定矩阵.221212(,)fxxxx定义1若二次型f=XTAX对于任意非零的n维向量X，恒有f=XTAX>0,则称f=XTAX为正定二次型，并称A为正定矩阵.232221321552),,(xxxxxxf如是正定二次型；2212313(,,)25fxxxxx222123123(,,)235fxxxxxx是半正定二次型；是不定二次型.例1.判定二次型的正定性．22121122(,)323fxxxxxx解：二次型的矩阵为31.13A＝-(2)(4)0,EA由224.A1得的特征值是＝，＝因A的特征值都大于零，故A正定，即该二次型正定.正定二次型的判定（3种方法）定理1n元实二次型正定的充要条件是正惯性指标等于n.定理2n元实二次型正定的充要条件是其矩阵的n个特征值都是正数.1110a1112221220aaaa其中r叫做矩阵A的r阶顺序主子式．定理3n阶实对称矩阵A正定的充要条件是A的各阶顺序主子式都大于零，即1112121222120nnnnnnnaaaaaaaaa0212222111211rrrrrrraaaaaaaaa例2.判定下列二次型的正定性．323121232221321844552),,(xxxxxxxxxxxxf(1)3221321),,(xxxxxxxf(2)解：(1)的系数矩阵为222254,245各阶顺序主子式为3222254100,245(2)的系数矩阵为1002110,221002１阶顺序主子式为10,120,22260,25所以(1)是正定二次型.所以(2)不是正...