20130216192444_118132478722.pptVIP免费

4.2相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵及其性质二、n阶矩阵与对角矩阵相似的条件11相似矩阵及其性质相似矩阵及其性质定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P1APB成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足自反性：A~A对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B，B~C，则A~C定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.证明：因为P1APB，A与B有相同的特征多项式，|EB||P1(E)PP1AP||EP1AP||P1(EA)P||P1||EA||P||EA|，所以它们有相同的特征值.定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得P1APB成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B.假如A与对角矩阵相似，对角矩阵对角线上的元素即A的特征值注：有相同的特征多项式的方阵不一定相似.例：11100101AE，特征多项式均为(-1)2,但不存在P-1EP=A.相似矩阵还具有下述性质：(1)相似矩阵有相同的秩；(2)相似矩阵的行列式相等；(3)相似矩阵的迹相等；定理1如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.(4)Am~Bm,m为正整数.解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,即解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|,即|A|=|D|＝12.223112,34AByx例1.若矩阵相似，求x,y.2214,223146xxy17.12xy解得110220003D例2.设3阶方阵A相似于,求|A|.定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵diag(,,,n)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.2n阶矩阵与对角矩阵相似的条件例如，矩阵A有两个不同的特征值14,22,1511其对应特征向量分别为1，21151取P(1,2)，则111所以A与对角矩阵相似.P1AP115116—513115110240，问题：若取P(2,1)，问，20.04＝称为A可对角化推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值1，2，，n，则A与对角矩阵diag(,,,n)相似.注意A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件,而不是必要条件.且有A121，A22，A33，向量组是A的线性无关的特征向量.所以当P(1,2,3)时，有例如，A，1，2...