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蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法简介蒙特卡罗方法简介陈萍陈萍目录•第一章蒙特卡罗方法概述•第二章随机数的产生•第三章EM算法和MCMC方法参考书:1.茆诗松等,高等数理统计(第6章),高等教育出版社,1998;2.徐钟济，蒙特卡罗方法，上海科学技术出版社第一章蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。1.蒙特卡罗方法的基本思想理论基础：大数定律；中心极限定理；F(X)~U(0,1)。基本思想：1.当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或该随机变量若干个观察值的算术平均值，根据大数定律得到问题的解；2.要生成分布函数为F(x)的随机数，可先生成U(0,1)随机数F，则可得到随机数X=F-1(F)。例（利用MC进行欧式期权定价）设股票价格St服从风险中性测度下的几何Brown运动：ttttdSrSdtSdB其离散化形式为1(1)~(0,1)(1)iiiiiSrSSBBN根据金融工程理论，设现在股票价格为S0，T时刻到期（单位天），敲定价为K的欧式看涨期权的价格为rTTCeESKMC方案：按照（1）递推产生n条风险中性测度下的轨道，提取出ST(n)；（2）11ˆnirTTiCeSKn2.蒙特卡罗方法的误差2/202()12ztNzPXEXedtNdtexXEXNPxxtNN2/221)(limdxxfXEx)())((022根据中心极限定理如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2，即则当N充分大时，有如下的近似式它表明，误差收敛速度的阶为以概率1-α成立。zN通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值2112)1(1ˆNiiNiiXNXN来代替，在计算所求量的同时，可计算出。ˆ减小方差的各种技巧显然，当给定置信度α后，误差ε由σ和N决定。要减小ε，或者是增大N，或者是减小方差σ2。在σ固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N需增加两个...