3.1问题的提出–函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据,即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)–或者给出函数表y=f(x)y=p(x)xx0x1x2……xnyy0y1y2……yn第三章曲线拟合的最小二乘法第三章曲线拟合的最小二乘法3.2.曲线拟合的最小二乘法如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐为此,我们希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数,不要求函数完全通过所有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋势，如图3.1所示。)(x)(xyox图3.1曲线拟合示意图换句话说:求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是最小二乘法。与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢？一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原理。两种逼近概念:插值:在节点处函数值相同.拟合:在数据点处误差平方和最小),,1,0)(,(niyxii函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同,即而曲线拟合函数不要求严格地通过所有数据点,也就是说拟合函数在xi处的偏差(亦称残差）不都严格地等于零。但是,为了使近似曲线能尽量反映所给数据点的变化趋势,要求按某种度量标准最小。若记向量,即要求向量的某种范数最小,如的1-范数或∞-范数即)()(iixfxP),,1,0(ni)(x),(iiyx)(x)()(iiixfx),,1,0(niiTne,,,10eee1eeniiiniixfxe001)()()()(maxmaxiiiiixfxe或最小。为了便于计算、分析与应用...
