ch9-4幂级数.PPTVIP免费

一、函数项级数的一般概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结第四节幂级数第九章福州大学3一、函数项级数的一般概念1.定义:设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数,则)()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.,120xxxnn例如级数福州大学42.收敛点与收敛域:如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,福州大学53.和函数:12()()()()nsxuxuxux即在收敛域K上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.xK0(),nux注:和函数s(x)的定义域就是级数的收敛域K.,120xxxnn例如级数1(),1sxx和函数为(1,1)x福州大学63.和函数:12()()()(),nsxuxuxuxxK即在收敛域K上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.注:和函数s(x)的定义域就是级数的收敛域K.)()(limxsxsnn若记函数项级数的部分和为余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.),(xsn则在收敛域K上有福州大学7.例1求级数nnnxn)11()1(1的收敛域.解由比值审敛法)()(1xuxunn111()(1)11nnnxnx11x,111)1(x当,20时或即xx原级数绝对收敛.,11xxnn111n,111)2(x当,11x,02时即x原级数发散.,1|1|)3(x当,20xx或福州大学8,111)2(x当,11x,02时即x原级数发散.,0时当x1)1(nnn级数(条件)收敛;,2时当x11nn级数发散;).,0[)2,(故级数的收敛域为,1|1|)3(x当,20xx或nnnxn)11()1(1,111)1(x当,20时或即xx原级数绝对收敛.,11x福州大学9二、幂级数及其收敛性1.定义:形如nnnxxa)(00的级数称为x-x0的幂级数.,,000nnnxax时当其中na为幂级数系数.2.收敛性:,120xxxnn例如级数;,1收敛时当x;,1发散时当x);1,1(收敛域);,1[]1,(发散域称为x的幂级数,福州大学10ox收敛定理1(Abel定理)(1)如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;(2)如果级数0nnnxa在0...