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第七节函数的连续性与连续函数的运算•函数的连续性•函数的间断点•连续函数的运算•小结一、函数的连续性从几何直观理解连续是简单的,若曲线连续不间断,则其所对应的函数连续.仅有这样简单的认识对研究函数是不够的，要有明确的数学定义.首先给出函数在一点的连续性定义:1.函数在一点连续的定义在一点连续:在一点处自变量的微变不会引起函数值的突变.考察自变量的改变引起函数值改变的情况.所考虑点增量改变后的值自变量函数)(0xfx0x)()(00xfxxfyxx0)(0xxf定义1设函数)(xf在),(aU内有定义,如果当自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量y也趋向于零,即0lim0yx或0)]()([lim000xfxxfx,那末就称函数)(xf在点0x连续,0x称为)(xf的连续点.000000)]()([limxxxxxxxfxxfx时，又)]()([lim00xfxfxx0)]()([lim00xfxfxx定义式化为：)()(lim:00xfxfxx即定义2设函数)(xf在),(aU内有定义,如果函数)(xf当0xx时的极限存在,且等于它在点0x处的函数值)(0xf,即)()(lim00xfxfxx那末就称函数)(xf在点0x连续.所以有:定义3:""定义.)()(,,0,000xfxfxx恒有时使当)()(,000xfxfxx时由极限定义，只是要求0)()(,000xfxfxx时而恒成立，于是有上述定义.例1.0,0,0,0,1sin)(处连续在试证函数xxxxxxf证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx3.单侧连续;)(),()0(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfxaxf定理.)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf.)(),()0(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数xxfxfxfbxxf例.判断如图函数的在原点连续性质yx1O111yx1O111yx1O111(1)(3)(2)例2.0,0,2,0,2)(连续性处的在讨论函数xxxxxxf解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf2.函数在区间连续在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.若区间包含端点,则在左端点连续是指右连续,在右端点连续是指左连续..,,),(],[)(处左连续在右端点处右连续并且在左端点内连续开区间上连续含义是：函数在在闭区间函数bxaxbabaxf区间I上全体连续函数的集合记为C(I).---...