第9章 常微分方程初值问题数值解法.pptVIP免费

第9章常微分方程初值问题数值解法§9.1引言包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。在微分方程中,自变量的个数只有一个,称为常微分方程.。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶导数都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。)(,,,nyyy在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解。譬如22yxy这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达它的解。再如，方程的解,虽然有表可查,但对于表上没有给出的值,仍需插值方法来计算xeyxe从实际问题当中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题00)(),(yxyyxfy(9.1)在区间a≤x≤b上的数值解法。可以证明,如果函数在带形区域R=a≤x≤b,-∞＜y＜∞}内连续，且关于y满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L(它与x,y无关)使2121),(),(yyLyxfyxf对R内任意两个都成立,则方程(9.1)的解在b上存在且唯21,yy)(xyy数值方法的基本思想对常微分方程初值问题(9.1)式的数值解法，就是要算出精确解y(x)在区间a,b上的一系列离散节点处的函数值的近似值。相邻两个节点的间距称为步长，步长可以相等，也可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，这时节点可表示为数值解法需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的数值解bxxxxann110)(,),(),(10nxyxyxynyyy,,,10iixxh1niihxxi,,2,1,0对常微分方程数值解法的基本出发点就是离散化。其数值解法有两个基本特点，它们都采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进，描述这类算法，要求给出用已知信息计算的递推公式。建立这类递推公式的基本方法是在这些节点上用数值积分、数值微分、泰勒展开等离散化方法，对初值问题中的导数进行不同的离散化处理。021,,,,yyyyiii1iyy00)(),(yxyyxfy对于初值问题的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1,xi和yi，即前一步的值，因此有了...