ch7-4重积分应用举例.pptVIP免费

第四节一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力重积分的应用举例第七章福州大学4一、立体体积•曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为DyxyxfVdd),(•占有空间有界域的立体的体积为空间区域的体积xyDyxyxzzyxz),(),,(),(21：设dxdydzdVV21[(,)(,)]xyDVdxdydzzxyzxydxdy21((,)(,))xyxyDDzxydxdyzxydxdy福州大学5被圆柱面xayx222所截得的0202:cos,Da例1求球体(含在柱面内的)立体的体积.xzayOD解:由对称性可知2244ddDVacos2022d4aa)322(3323a14VV22244xyDaxydxdy福州大学6例2求半径为R的球面:与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.2222)(RRzyxRr=2Rcos..Mrz0xy=M02cosrR020)cos1(3443RVVVd(,)2若则为球体体积福州大学7MdSzdnxyzo二、曲面的面积设光滑曲面小切平面的面积dS无限积累而成.设它在D上的投影的面积为d,ddS2211cos(,)(,)xyfxyfxydS(dS称为曲面面积元素)则Mndcos?n则面积S可看成曲面上各点),,(zyxM处00001((,),(,),)xynfxyfxy00001((,),(,),)xynfxyfxy或221()()xyfx,yfx,yd偏导数连续(可微)且不同时为零(见书P99)(cf.书P152)福州大学8故有曲面的面积公式221xyxyDSfx,yfx,yd()()221()()ddxyDzzSxyxy即例1.求x+y+z=1被三坐标面所割的第一卦限部分的面积.(,)ddxyDfxyxy(曲顶柱体的体积)切记：别写成！(Dxy是在xoy面上的投影区域)福州大学9221()()ddyySzxzx若光滑曲面方程为zxyy(z,x),(z,x)D,则有xzD若光滑曲面方程为yzxx(y,z),(y,z)D,则有同理可得设光滑曲面故有曲面面积公式221()()xyDzzSdxdyxy福州大学10,}2|),{(22xyxyxD,22yxxzx,22yxyzyDyxyxzzSdd122Dyxdd22解22222zxyxyx锥面被圆柱面所割下部分的曲面面积.例2.另如：作业本P43一4福州大学11设空间有n个质点,,),,(kkkzyx其质量,),,2,1(nkmk由加权平均算法得出,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11分别位于分别为三、物体的质心该质点系的质心坐标为(),,,xyz质心即“质量中心...