1第三章空间向量与立体几何§3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.2空间向量运算的坐标表示及应用课后篇巩固提升合格考达标练1.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且⃗AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)答案D解析 a=(-3,4,12),且⃗AB=2a,∴⃗AB=(-6,8,24), A(1,-2,0),∴点B的坐标是(-5,6,24),故选D.2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为()A.-2B.-143C.143D.2答案D解析由题意知,a-λb=(-2+λ,1-2λ,3-λ),因为a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=(4-2λ)+(1-2λ)+(9-3λ)=14-7λ=0,解得λ=2.3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|=()A.√15B.4C.5D.√17答案D4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与AM所成的角为()A.45°B.60°C.90°D.不能确定答案C解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,A1P=p,易得⃗AM=(-2,0,1),⃗OP=(1,p-1,2),2而⃗AM·⃗OP=-2+0+2=0,所以⃗AM⊥⃗OP,即OP⊥AM,所以直线OP与AM所成的角为90°.故选C.5.已知A(0,0,-x),B(1,√2,2),C(x,√2,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且⃗OM=x⃗OA+2x⃗OB+4⃗OC,则⃗AB与⃗AC的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案C解析由A,B,C,M四点共面可知x+2x+4=1,∴x=-1,∴A(0,0,1),C(-1,√2,2),∴⃗AB=(1,√2,1),⃗AC=(-1,√2,1),∴cos<⃗AB,⃗AC>=⃗AB·⃗AC|⃗AB||⃗AC|=12,即⃗AB与⃗AC的夹角为π3.故选C.6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=.答案-8解析由已知得c+a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)·2b=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=√14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为.答案120°解析由题得a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=√14.因为(a+b)·c=7,所以a+b与c夹角的余弦值为12,即夹角为60°.因为a=(1,2,3)与a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知a与c的夹角为120°.8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解(1)因为a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以a+c与b+c所成角的余弦值cosθ=5-12+3√38×√38=-219.39.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的...
