11.3向量的数乘必备知识基础练1.在△ABC中,D是线段BC的中点,且⃗AB+⃗AC=4⃗AE,则()A.⃗AD=2⃗AEB.⃗AD=4⃗AEC.⃗AD=2⃗EAD.⃗AD=4⃗EA答案A解析由已知得⃗AB+⃗AC=2⃗AD,所以⃗AD=2⃗AE.2.如图,在矩形ABCD中,E为CD的中点,那么向量12⃗AB+⃗AD等于()A.⃗AEB.⃗ACC.⃗DCD.⃗BC答案A解析 E为CD的中点,∴12⃗AB=⃗DE,则12⃗AB+⃗AD=⃗DE+⃗AD=⃗AE.3.已知向量⃗AB=a+2b,⃗BC=5a+3b,⃗CD=-3a+b,则()A.A,B,D三点共线B.A,B,C三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案A解析 向量⃗BD=⃗BC+⃗CD=2a+4b,⃗AB=a+2b,∴⃗BD=2⃗AB,即A,B,D三点共线.4.若⃗AB=5e,⃗CD=-7e,且|⃗AD|=|⃗BC|,则四边形ABCD的形状是.答案等腰梯形解析由已知得⃗AB=-57⃗CD,因此⃗AB∥⃗CD,且|⃗AB|≠|⃗CD|,所以四边形ABCD是梯形.又因为|⃗AD|=|⃗BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为.答案-132解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b. a,b不共线,∴{1+3k=0,k-λ=0,解得λ=-13.6.如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,AC的中点,延长CD到M使DM=CD,延长BE至N使BE=EN,求证:M,A,N三点共线.证明 D为MC的中点,且D为AB的中点,∴⃗AB=⃗AM+⃗AC.∴⃗AM=⃗AB−⃗AC=⃗CB.同理可证明⃗AN=⃗AC−⃗AB=⃗BC.∴⃗AM=-⃗AN.∴⃗AM,⃗AN共线,又⃗AM与⃗AN有公共点A.∴M,A,N三点共线.7.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求(13a-b)-a-23b+(2b-a);(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.解(1)原式=13a-b-a+23b+2b-a=(13-1-1)a+(-1+23+2)b=-53a+53b. a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-53(3i+2j)+53(2i-j)=(-5+103)i+(-103-53)j=-53i-5j.(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=111a+211b.∴y=3x-b=3(111a+211b)-b=311a-511b.关键能力提升练8.在△ABC中,O为其内部一点,且满足⃗OA+⃗OC+3⃗OB=0,则△AOB和△AOC的面积比是()A.3∶4B.3∶2C.1∶1D.1∶3答案D解析取AC的中点M(图略),则由⃗OA+⃗OC+3⃗OB=0,得2⃗OM=-3⃗OB,所以2|OM|=3|OB|,点O在线段BM上.因此S△AOB∶S△AOC=S△AOB∶2S△AOM=|OB|∶2|OM|=1∶3.39.(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且⃗AP=m⃗AB+n⃗AD(m,n∈R),则1m+2n的最小值是()A.3B.3+2√2C.4D.4+2√2答案C解析因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则⃗BP=λ⃗BC(0<λ≤1),则⃗AP=⃗AB+⃗BP=⃗AB...
