1第六章计数原理6.3二项式定理6.3.1二项式定理课后篇巩固提升必备知识基础练1.(x+2)6的展开式中x3的系数是()A.20B.40C.80D.160答案D解析(方法一)设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=C6kx6-k·2k,令6-k=3,得k=3,故展开式中x3的系数为C63×23=160.(方法二)根据二项展开式的通项的特点,二项展开式每一项中所含的x与2分得的次数和为6,则根据题意满足条件x3的项按3与3分配即可,则展开式中x3的系数为C63×23=160.2.(x-√2y)10的展开式中x6y4的系数是()A.840B.-840C.210D.-210答案A解析在通项Tk+1=C10kx10-k(-√2y)k中,令k=4,即得(x-√2y)10的展开式中x6y4的系数为C104·(-√2)4=840.3.使得(3x+1x√x)n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.7答案B解析(3x+1x√x)n展开式中的第k+1项为Cnk(3x)n-kx-32k=Cnk3n-kxn-52k.若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-52k=0,故最小的n为5,故选B.4.(2021湖南模拟)(x-1)(x-2)6的展开式中的x3的系数为()A.80B.-80C.400D.-400答案C解析(x-2)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r(-2)r,令6-r=2,得r=4,则T5=(-2)4×C62x2=240x2,令6-r=3,得r=3,则T4=(-2)3×C63x3=-160x3,故(x-1)(x-2)6的展开式中的x3的系数为240+160=400.25.若x>0,设x2+1x5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为.答案5√22解析T3=C52·x231x2=54x,T4=C53·x22·1x3=52x,故M+N=5x4+52x≥2√258=5√22当且仅当5x4=52x,即x=√2时,等号成立.6.已知2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,则实数a的值为.答案9解析根据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a<11)能被11整除,根据二项展开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.7.已知(√x+23√x)n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数.解 Cn8=Cn9,∴n=17,Tk+1=C17kx17-k2·2k·x-k3.令17-k2−k3=1,得k=9.∴T10=C179·x4·29·x-3=C179·29·x.故x的系数为29C179.8.已知在(√x+2x2)n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.解T5=Cn4(√x)n-4·24x-8=16Cn4xn-202,T3=Cn2(√x)n-2·22x-4=4Cn2xn-102.由题意知,16Cn44Cn2=563,解得n=10(负值舍去).Tk+1=C10k(√x)10-k·2kx-2k=2kC10kx10-5k2,令10-5k2=0,解得k=2.所以展开式中的常数项为C102×22=180.9.求证:1+2+22+…+25n-1(n∈N*)能被31整除.证明 1+2+22+…+25n-1=25n-12-1=25n-1=32n-1=(31+1)n-1=Cn0·31n+Cn1·31n-1+…+Cnn-1·31+Cnn-1=31(Cn0·31n-1+Cn1·31n-2+…+C...
