13.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.抛物线y=1ax2的准线方程是y=1,则a的值是()A.14B.-14C.4D.-4解析抛物线y=1ax2的标准方程为x2=ay,其准线方程为y=-a4,又抛物线准线方程为y=1,得1=-a4,解得a=-4.答案D2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,则抛物线的标准方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x解析由抛物线y2=2px(p>0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大12,根据抛物线的定义可得p2=12,∴p=1,所以抛物线的标准方程为y2=2x.故选B.答案B3.(2020河北保定高二期末)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0等于()A.4B.2C.1D.8解析如图,易知F14,0,准线l的方程为x=-14.2过A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,即54x0=x0+p2=x0+14,∴x0=1.答案C4.点M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,点F为抛物线的焦点,FM⊥x轴,且|OM|=√5,则抛物线的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.y=-1D.y=-2解析抛物线y2=2px的焦点为F(p2,0),点M为抛物线上的点,且FM⊥x轴,∴M(p2,±p).又|OM|=√5,∴(p2)2+p2=5,解得p=2或p=-2(舍),p2=1,所以抛物线的准线方程为x=-1,故选A.答案A5.已知F为抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74解析抛物线的准线为l:x=-14,过A,B作准线的垂线,垂足为E,G,AB的中点为M,过M作准线的垂线,垂足为H,因为A,B是该抛物线上的两点,故|AE|=|AF|,|BG|=|BF|,所以|AE|+|BG|=|AF|+|BF|=3,所以|MH|=32,故M到y轴的距离为32−14=54,故选C.答案C6.3如图,已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=()A.2∶√5B.1∶2C.1∶√5D.1∶3解析易知抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),∴抛物线的准线方程l:y=-1.又点A的坐标为(2,0),∴直线AF的斜率k=0-12-0=-12.如图,过点M作MG⊥l于点G,根据抛物线的定义知|FM|=|MG|.在Rt△MNG中,易知tan∠MNG=-k=12,∴|MG||NG|=12,即|NG|=2|MG|,∴|MN|=√|MG|2+|NG|2=√5|MG|,∴|FM|∶|MN|=1∶√5.故选C.答案C7.与圆x2+y2-4x=0外切,且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析若动圆在y轴右侧,则动圆圆心到定点(2,0)与到定直线x=-2的距离相等,其轨迹是抛物线;若动圆在y轴左侧,则动圆圆心轨迹是x轴的负半轴.答案y2=8x(x>0)或y=0(x<0)8.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:x23-y2=1的焦距为.若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为.解析在双曲线C:x23-y...
