1§5垂直关系5.1直线与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定解析由于直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,而这两边相交于点C,所以直线l和三角形所在的平面垂直,又因三角形的第三边AB在这个平面内,所以l⊥AB.答案B2.给出下列三个命题:①一条直线垂直于一个平面内的三条直线,则这条直线和这个平面垂直;②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等,则这条直线和这个平面垂直;③一条直线在平面内的投影是一点,则这条直线和这个平面垂直.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①错,②③对.答案C3.直线a⊥直线b,直线b⊥平面β,则a与β的关系是()A.a⊥βB.a∥βC.a⊂βD.a⊂β或a∥β解析若a⊂β,b⊥平面β,可证得a⊥b;若a∥β,过a作平面α,α∩β=c,b⊥平面β,c⊂β,则b⊥c,a∥c,于是b⊥a.故选D.答案D4.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为.解析由题意知,△PAC,△PAB,△ACB是直角三角形.因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.2又AC⊥BC,PA∩AC=A,得BC⊥平面PAC,即BC⊥PC.所以△PCB是直角三角形.所以共有4个直角三角形.答案45.已知直线l,a,b,平面α,若要得到结论l⊥α,则需要在条件a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b中另外添加的一个条件是.答案a与b相交6.如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,所以BB1⊥AD,因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.又BC∩BB1=B,所以AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=√32,AC1=√2,sin∠AC1D=ADAC1=√64,即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为√64.能力提升练1.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则P到BC的距离是()A.√5B.2√5C.3√5D.4√5解析如图所示,作PD⊥BC于点D,连接AD.3因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD,所以AD⊥BC.在△ACD中,AC=5,CD=3,所以AD=4.在Rt△PAD中,PA=8,AD=4,所以PD=√82+42=4√5.答案D2.(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上或其内部运动,且使MN⊥AC.下列命题中为正确命题的是()A.点M可以与点H重合B.点M可以与点F重合C.点M可以在线段FH上D.点M可以与点E重合解析由题意知...
