1第二章圆锥曲线§2双曲线2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升合格考达标练1.已知双曲线x2a2−y25=1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于()A.3√1414B.3√24C.32D.43答案C解析由题意知a2+5=9,解得a=2,e=ca=32.2.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.√22C.1D.√2答案B解析双曲线x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0,顶点坐标为(1,0),(-1,0),故顶点到渐近线的距离为√22.3.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±14xB.y=±13xC.y=±12xD.y=±x答案C解析已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52,故有a2+b2a2=54,所以b2a2=14,解得ba=12.故双曲线C的渐近线方程为y=±12x.故选C.4.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为()2A.x220−y25=1B.x25−y220=1C.x280−y220=1D.x220−y280=1答案A解析双曲线C的渐近线方程为y=±bax,点P(2,1)在渐近线y=bax上,∴2ba=1,即a2=4b2,又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20.故选A.5.如图,双曲线C:x29−y210=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是()A.3B.4C.6D.8答案C解析设F2为右焦点,连接P2F2(图略),由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=2×3=6.6.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析设B为双曲线的右焦点,如图所示. 四边形OABC为正方形且边长为2,∴c=|OB|=2√2.又∠AOB=π4,∴ba=tanπ4=1,即a=b.又 a2+b2=c2=8,∴a=2.7.已知F为双曲线C:x29−y216=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为.3答案44解析由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,点P,Q在双曲线的右支上,由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为x29−y227=1或y29−x227=1.(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ...
