1*§3复数的三角表示3.1复数的三角表示式3.2复数乘除运算的几何意义课后篇巩固提升基础达标练1.(多选)cosπ6+isinπ6·cosπ3+isinπ3的结果是()A.实数B.复数C.虚数D.纯虚数解析cosπ6+isinπ6·cosπ3+isinπ3=cosπ6+π3+isinπ6+π3=cosπ2+isinπ2=i.其结果是复数,虚数,纯虚数.故选BCD.答案BCD2.4(cosπ+isinπ)÷2cosπ3+isinπ3=()A.1+√3iB.1-√3iC.-1+√3iD.-1-√3i解析4(cosπ+isinπ)÷2cosπ3+isinπ3=2cosπ-π3+isinπ-π3=2cos2π3+isin2π3=-1+√3i.故选C.答案C3.把复数a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的向量绕原点O顺时针方向旋转90°后所得向量对应的复数为()A.a-biB.-a+biC.b-aiD.-b+ai解析数形结合易知,复数的模不变,虚部等于原来实部a的相反数,实部等于原来虚部,即b-ai.答案C4.8i÷2(cos45°+isin45°)=,其模为.解析8i÷2(cos45°+isin45°)=8(cos90°+isin90°)÷2(cos45°+isin45°)=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]=4(cos45°+isin45°)=2√2+2√2i,其模为√\(2√2\)2+\(2√2\)2=4.答案2√2+2√2i45.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.解所得向量对应的复数为(-2+2i)·(cos75°+isin75°)2=2√2(cos135°+isin135°)·(cos75°+isin75°)=2√2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]=2√2(cos210°+isin210°)=2√2-√32−12i=-√6−√2i.能力提升练1.复数z=(sin25°+icos25°)3的三角形式是()A.cos195°+isin195°B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15°D.cos75°+isin75°解析z=(sin25°+icos25°)3=(cos65°+icos65°)3=cos195°+icos195°.故选A.答案A2.若复数z满足|z-1z|=12,argz-1z=π3,则z=.解析设z-1z=z0,则|z0|=12,argz0=π3,所以z0=12·cosπ3+isinπ3=14+√34i,所以z-1z=14+√34i,解得z=1+√33i.答案1+√33i3.在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1,Z2,Z3,O(其中O为原点).已知Z2对应复数Z2=1+√3i,求Z1和Z3所对应的复数.解根据题意作图如下.正方形的一条对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形,且斜边是直角边的√2倍.由复数运算的几何意义知,z1=1√2·z2·cos-π4+isin-π4=√22·(1+√3i)√22−√22i=√3+12+√3-12i;z3=1√2·z2·cosπ4+isinπ4=√22·(1+√3)√22+√22i=1-√32+1+√32i.素养培优练3已知复数z=√32−12i,ω=√22+√22i,复数z·ω,z2·ω3在复平面上所对应的点分别为P,Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).解z=√32−12i=cos-π6+isin-π6ω=√22+√22i=cosπ4+isinπ4,所以z·ω=cos-π6+π4+isin-π6+π4=cosπ12+isinπ12,所以z·ω=cos-π12+isin-π12.又z2·ω3=cos-π3+isin-π3·cos3π4+isin3π4=cos5π12+isin5π12,因此OP,OQ的夹角为5π12--π12=π2.所以OP⊥OQ,又因为|OP|=1,|OQ|=1,所以|OP|=|OQ|,所以△OPQ为等腰直角三角形.
