1第三章综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系Oxy中,动点P关于x轴对称的点为Q,且⃗OP·⃗OQ=2,则点P的轨迹方程为()A.x2+y2=2B.x2-y2=2C.x+y2=2D.x-y2=2解析设P(x,y),Q(x,-y),则⃗OP·⃗OQ=(x,y)·(x,-y)=x2-y2=2.故选B.答案B2.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是()A.12B.√32C.1D.√3解析抛物线y2=4x的焦点为(1,0),到双曲线x2-y23=1的一条渐近线√3x-y=0的距离为|√3×1-0|√\(√3\)2+\(-1\)2=√32.故选B.答案B3.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),点P为椭圆C上一点,且|PF1|+|PF2|=10,那么椭圆C的短轴长是()A.6B.7C.8D.9解析设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).依题意得,2a=10,∴a=5.又c=3,∴b2=a2-c2=16,即b=4.因此椭圆的短轴长是2b=8.故选C.答案C4.过点M(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于()A.√24B.√22C.14D.122解析设A(x1,y1),B(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得\(x1-x2\)\(x1+x2\)a2+\(y1-y2\)\(y1+y2\)b2=0.根据题意有x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×1=2,且y1-y2x1-x2=-12,所以2a2+2b2×(-12)=0,所以a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2,所以ca=√22,所以e=√22.答案B5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若⃗FP=3⃗FQ,则|QF|=()A.83B.52C.3D.2解析 ⃗FP=3⃗FQ,∴点Q在P,F之间,过点Q作QM⊥l.垂足为M.由抛物线的定义知|QF|=|QM|.设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4.又易知△PQM∽△PFN,则|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=23,∴|QM|=83,即|QF|=83.故选A.答案A6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2−y2b2=1,C1与C2的离心率之积为√32,则C2的渐近线方程为()A.x±√2y=0B.√2x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,则e1·e2=c1a·c2a=√a2-b2a·√a2+b2a=√a4-b4a2=√32,所以ba=√22,所以双曲线C2的渐近线方程为y=±bax=±√22x,即x±√2y=0.答案A37.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则点M的轨迹方程为()A.4x221−4y225=1B.4x221+4y225=1C.4x225−4y221=1D.4x225+4y221=1解析由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y). AQ的垂直平分线交CQ于点M,∴|MA|=|MQ|.又|MQ|+...
