1第一章预备知识§3不等式3.2基本不等式第2课时习题课基本不等式的应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.x2+3x+6x+1(x>0)的最小值是()A.2B.3C.4D.5解析由题意知,x2+3x+6x+1=\(x+1\)2+x+1+4x+1=x+1+4x+1+1,因为x>0,所以x+1>0,则x+1+4x+1+1≥2√4+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,故最小值是5.答案D2.已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.16D.10解析因为a>0,b>0,所以a+4b>0,所以不等式4a+1b≥ma+4b恒成立,即可转化为4a+1b(a+4b)≥m恒成立,即4a+1b(a+4b)min≥m,因为4a+1b(a+4b)=8+16ba+ab≥8+2√16ba·ab=16,当且仅当a=4b时取等号,所以16≥m,即m的最大值为16.答案C3.√\(3-a\)\(a+6\)(-6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92C.3D.3√222解析 -6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0,由基本不等式,得√\(3-a\)\(a+6\)≤\(3-a\)+\(a+6\)2=92,当且仅当a=-32时取得等号.答案B4.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使ba+ab≥2成立的条件个数为()A.1B.2C.3D.4解析利用均值不等式的前提是“一正、二定、三相等”,即当ba,ab均为正数时,可得ba+ab≥2,此时只需a,b同号即可,所以①③④均满足要求.故选C.答案C5.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为.解析 a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b+2a=13(2a+b)2a+1b=135+2ba+2ab≥13(5+4)=3,当且仅当2ba=2ab,即a=b=1时,a+2bab取得最小值3.答案36.若关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为.解析关于x的不等式x+4x-a≥5在x∈(a,+∞)上恒成立,即为x-a+4x-a≥5-a在x∈(a,+∞)上恒成立,由x>a,可得x-a>0,则x-a+4x-a≥2√\(x-a\)·4x-a=4,当且仅当x-a=2,即x=a+2时,取得最小值4,则5-a≤4,可得a≥1,可得a的最小值为1.答案17.若正实数x,y满足x+y=1,求4x+1+1y的最小值.解因为x+y=1,所以(x+1)+y=2.所以4x+1+1y=4x+1+1y×[\(x+1\)+y]2=125+4yx+1+x+1y≥12(5+2√4)=92,当且仅当4yx+1=x+1y,即x=13,y=23时,等号成立.3所以4x+1+1y的最小值为92.8.求函数y=x+1x-1中y的取值范围.解当x>1时,y=x-1+1x-1+1≥2√\(x-1\)×1x-1+1=3,即x>1时,ymin=3;当x<1时,y=-(1-x)+11-x+1≤-2√\(1-x\)×11-x+1=-1,即x<1时,ymax=-1;故函数y=x+1x-1中y的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞).关键能力提升练9.当x<54时,则函数y=4x-2+14x-5的最大值是()A.1B.2C.3D.12解析由题意,x<54,则5-4x>0,15-4x>0,则y=4x-2+14x-5=4x-5+14x-5+3=-(5-4x)+15-4x+3≤-2√\(5-4x\)·15-4x+3=1,当且仅当5-4x=15-4x,即x=...
