1第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.1直线的方向向量与平面的法向量课后篇巩固提升合格考达标练1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)答案A2.若u=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量能作为平面α的法向量的是()A.(0,-3,1)B.(2,0,1)C.(-2,-3,1)D.(-2,3,-1)答案D3.若平面α∥β,则下面选项中可以是这两个平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)答案D解析因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D项符合.4.下列各组向量中不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40)答案D5.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则()A.x=6,y=15B.x=3,y=152C.x=3,y=152D.x=6,y=152答案D解析由题意,有a∥b,则32=x4=y5,得x=6,y=152.6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以下向量可以作为平面ABC法向量的是.(填序号)①⃗AB②⃗AA1③⃗B1B④⃗A1C1答案②③7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z). ⃗AC=(-1,1,0),⃗AD1=(-1,0,1),又n为平面ACD1的一个法向量,∴{n·⃗AC=0,n·⃗AD1=0,∴{\(x,y,z\)·\(-1,1,0\)=0,\(x,y,z\)·\(-1,0,1\)=0,化简,即{x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).8.在三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB,可得⃗BD∥⃗AC,⃗DC∥⃗AB,因此{\(x,y-1,z\)=k1\(-1,0,2\),\(-x,-y,2-z\)=k2\(-1,1,0\),3解得{x=-1,y=1,z=2.即点D的坐标为(-1,1,2).等级考提升练9.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的法向量,则m,n的值分别为()A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2答案A解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),由c为平面α的法向量,得{c·a=0,c·b=0,即{3m+n+1=0,m+5n-9=0,解得{m=-1,n=2.10.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是()A.(1,1,12)B.(1,√2,1)C.(1,1,1)D.(2,-2,1)答案A解析⃗PA=(1,0,-2),⃗...
