第3课时利用导数证明不等式提升关键能力——考点突破掌握类题通法考点一移项作差构造法[基础性、综合性][例1]已知函数f(x)＝1－lnxx，g(x)＝aeex+1x－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直．(1)求a，b的值；(2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.听课笔记：反思感悟待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．【对点训练】设f(x)＝2xlnx＋1.求证：f(x)≤x2－x＋1x＋2lnx．考点二特征分析法[综合性][例2]已知函数f(x)＝ax－lnx－1.(1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值；(2)证明：e−xx＋x＋lnx－1≥0；(3)已知k(e－x＋x2)≥x－xlnx恒成立，求k的取值范围．听课笔记：反思感悟(1)特征分析法往往要在前面问题中证明出某个不等式，在后续的问题中应用前面的结论，呈现出层层递进的特点．(2)证明不等式时的一些常见结论①lnx≤x－1，当且仅当x＝1时，等号成立；②ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立；③lnx0.【对点训练】已知函数f(x)＝ln(x－1)－k(x－1)＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；(3)证明：ln23+ln34+ln45＋…＋lnnn+11)．考点三隔离分析法[综合性][例3]已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.听课笔记：反思感悟(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．(2)在证明过程中，“隔离”化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x”的值．【对点训练】设函数f(x)＝x2－(x＋1)lnx，求证：当012x.考点四换元构造法[综合性][例4]已知函数f(x)＝lnx－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2.听课笔记：反思感悟换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a，再结合所证问题，巧妙引入变量c＝x1x2，从而构造相应的函数．其解题要点为：联立消参利用方程f(x1)＝f(x2)消掉解析式中的参数a抓商构元令c＝x1x2，消掉变量x1，x2，构造关于c的函数h(c)用导求解利用导数求解函数h(c)的最小值，从而可证得结论【对点训练】已知函数f(x)＝lnx＋x2＋x.若正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0.求证：x1＋x2≥√5−12.第3课时利用导数证明不等...
