1习题课三角恒等变换的应用必备知识基础练1.(2021山东济宁高一期末)若tanα=2,则sin2α1+cos2α=()A.16B.13C.23D.1答案C解析因为tanα=2,则sin2α1+cos2α=2sinαcosα2cos2α+sin2α=2tanα2+tan2α=2×22+22=23.故选C.2.化简sinα2+cosα22+2sin2π4−α2得()A.2+sinαB.2+√2sinα-π4C.2D.2+√2sinα+π4答案C解析原式=1+2sinα2cosα2+1-cos2π4−α2=2+sinα-cosπ2-α=2+sinα-sinα=2.3.函数f(x)=sinxcosx+cos2x-1的值域为()A.[-√2+12,√2-12]B.[√2-12,√2+12]C.[-1,0]D.[0,12]答案A解析f(x)=sinxcosx+cos2x-1=12sin2x+1+cos2x2-1=12sin2x+12cos2x-12=√22sin(2x+π4)−12,因为-1≤sin(2x+π4)≤1,所以y∈[-√2+12,√2-12].24.函数f(x)=sin2x-π4-2√2sin2x的最小正周期是.答案π解析f(x)=√22sin2x-√22cos2x-√2(1-cos2x)=√22sin2x+√22cos2x-√2=sin2x+π4-√2,所以T=2π2=π.5.若3sinx-√3cosx=2√3sin(x+φ),φ∈(-π,π),则φ=.答案-π6解析因为3sinx-√3cosx=2√3√32sinx-12cosx=2√3sinx-π6,又因为φ∈(-π,π),所以φ=-π6.6.化简:sin4x1+cos4x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=.答案tanx2解析原式=2sin2xcos2x2cos22x·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=sin2x1+cos2x·cosx1+cosx=2sinxcosx2cos2x·cosx1+cosx=sinx1+cosx=tanx2.7.已知函数f(x)=4cos4x-2cos2x-1sin(π4+x)sin(π4-x).(1)求f(-11π12)的值;(2)当x∈[0,π4)时,求函数g(x)=12f(x)+sin2x的最大值和最小值.解(1)f(x)=\(1+cos2x\)2-2cos2x-1sin(π4+x)sin(π4-x)=cos22xsin(π4+x)cos(π4+x)=2cos22xsin(π2+2x)=2cos22xcos2x=2cos2x,所以f(-11π12)=2cos(-11π6)=2cosπ6=√3.3(2)g(x)=cos2x+sin2x=√2sin(2x+π4).因为x∈[0,π4),所以2x+π4∈[π4,3π4),所以当x=π8时,g(x)max=√2,当x=0时,g(x)min=1.关键能力提升练8.已知α满足sinα=13,则cos(π4+α)cosπ4-α=()A.718B.2518C.-718D.-2518答案A解析cos(π4+α)cos(π4-α)=cosπ2-π4-α·cosπ4-α=sinπ4-αcosπ4-α=12sinπ2-2α=12cos2α=12(1-2sin2α)=12(1-2×19)=718,故选A.9.(2021黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx-cos2x,x∈R,则()A.f(x)的最大值为1B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点C.f(x)的最小正周期为π2D.直线x=π3为f(x)图象的一条对称轴答案D解析函数f(x)=sin2x+2√3sinxcosx-cos2x=√3sin2x-cos2x=2√32sin2x-12cos2x=2sin2x-π6,可得f(x)的最大值为2,最小正周期为T=2π2=π,故A,C...
