11.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.若O为坐标原点,⃗OA=(1,1,-2),⃗OB=(3,2,8),⃗OC=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为()A.√1652B.2√14C.√53D.√532解析 ⃗OP=12(⃗OA+⃗OB)=12(4,3,6)=(2,32,3),⃗OC=(0,1,0),∴⃗PC=⃗OC−⃗OP=(-2,-12,-3),∴|⃗PC|=√4+14+9=√532.答案D2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,则点C1到直线CE的距离为()A.13B.√33C.√53D.√63解析建立空间直角坐标系,如图,则C(1,1,0),C1(1,1,1),E0,12,1,所以⃗EC=1,12,-1,⃗CC1=(0,0,1),所以点C1到直线EC的距离d=√|⃗CC1|2-∨⃗CC1·⃗EC|⃗EC|∨2=√1-49=√53.故选C.答案C3.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()2A.√6a6B.√3a6C.√3a4D.√6a3解析建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),M(a,0,a2),B(a,a,0),A1(a,0,a),∴⃗DM=(a,0,a2),⃗DB=(a,a,0),⃗DA1=(a,0,a).设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗DM=0,n·⃗DB=0,即{ax+a2z=0,ax+ay=0,令x=1,则y=-1,z=-2,可得n=(1,-1,-2).∴点A1到平面MBD的距离d=|⃗DA1·n||n|=|a-2a|√6=√66a.答案A4.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.解析如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴⃗PB=(3,0,-1),⃗BD=(-3,4,0),∴点P到直线BD的距离3d=√|⃗PB|2-|⃗PB·⃗BD|⃗BD||2=√10-(-95)2=135.答案1355.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=√3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,则点B1到平面A1BC的距离为.解析如图所示,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),A1(1,0,√3),B1(0,1,√3),C1(0,0,√3),∴⃗A1B=(-1,1,-√3),⃗A1C=(-1,0,-√3),⃗A1B1=(-1,1,0).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗A1B=0,n·⃗A1C=0,即{-x+y-√3z=0,-x-√3z=0.令z=1得x=-√3,y=0,∴n=(-√3,0,1).∴点B1到平面A1BC的距离d=|n·⃗A1B1||n|=√32.答案√326.已知正方形ABCD的边长为1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.4(1)求点D到平面PEF的距离;(2)求直线AC到平面PEF的距离.解(1)建立以D为坐标原点,⃗DA,⃗DC,⃗DP分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,12,0),F(12,1,0),所以⃗EF=(-12,12,0),⃗PE=(1,12,-1),⃗DE=(1,12,0),设平面PEF的法向量n=(x,y,z),则{n·⃗EF=0,n...
