1第一章综合训练(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知平面α和平面β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则()A.α⊥βB.α∥βC.α与β相交但不垂直D.以上都不对解析 n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5),∴n=-2m.∴m∥n.∴α与β平行.答案B2.(2020黑龙江哈尔滨六中高二检测)已知O为坐标原点,向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).若点E在直线AB上,且⃗OE⊥a,则点E的坐标为()A.-65,-145,25B.65,145,-25C.65,-145,25D.-65,145,-25解析因为E在直线AB上,故存在实数t使得⃗OE=⃗OA+⃗AE=⃗OA+t⃗AB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).若⃗OE⊥a,则⃗OE·a=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=95.因此点E的坐标为-65,-145,25.故选A.答案A3.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()A.a2B.14a2C.12a2D.√34a2解析在正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,∴⃗AE=⃗AB+⃗BE,⃗AF=12⃗AD.2则⃗AE·⃗AF=⃗\(AB+⃗BE)·12⃗AD=12⃗AB·⃗AD+12⃗BE·⃗AD.因为是正四面体,所以BE⊥AD,∠BAD=π3,即⃗BE·⃗AD=0,⃗AB·⃗AD=|AB||AD|cosπ3=a22,所以⃗AE·⃗AF=a24,故选B.答案B4.(2020福建莆田高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,E为BB1的中点,F为A1D1的中点,则下列向量能作为平面AEF的法向量的是()A.(1,-2,4)B.(-4,1,-2)C.(2,-2,1)D.(1,2,-2)解析设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),所以⃗AE=(0,2,1),⃗AF=(-1,0,2).设向量n=(x,y,z)是平面AEF的法向量,则{n·⃗AE=2y+z=0,n·⃗AF=-x+2z=0,取y=1,得x=-4,z=-2,则n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量.结合其他选项,检验可知只有B选项是平面AEF的法向量.答案B5.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A.45B.35C.34D.√55解析取AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.3设三棱柱的棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(√3,0,2),∴⃗AD=(0,1,2).设n=(x,y,z)为平面B1CD的法向量,由{n·⃗CD=0,n·⃗CB1=0,得{-y+2z=0,√3x-y+2z=0,故{x=0,y=2z,令z=1,得n=(0,2,1).设直线AD与平面B1DC所成角为α,则sinα=|cos<⃗AD,n>|=|⃗AD·n||⃗AD||n|=4√5×√5=45,所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为45.故选A.答案A6.如图,棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱AB,BC上...
