1第三章空间向量与立体几何§4向量在立体几何中的应用4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系课后篇巩固提升合格考达标练1.若a=(2,3,m),b=(2n,6,8),且a,b为共线向量,则m+n的值为()A.7B.52C.6D.8答案C解析由a,b为共线向量,知n≠0且22n=36=m8,解得m=4,n=2,则m+n=6.故选C.2.已知直线l1的方向向量是a=(2,-2,x),直线l2的方向向量是b=(2,y,-2),若|a|=3,且l1⊥l2,则x-y的值是()A.-4或0B.4或1C.-4D.0答案A3.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点,E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=12EBD.E与B重合答案A2解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则⃗D1F=(0,1,-2),⃗DE=(2,2,z), ⃗D1F·⃗DE=0×2+1×2-2z=0,∴z=1,∴B1E=EB.4.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析 α⊥β,∴u·v=-2×6+2×(-4)+4t=0,∴t=5.5.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量⃗AB=(1,0,-2),⃗AC=(1,1,1),则()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案A解析 n1·⃗AB=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,n1·⃗AC=2×1-3×1+1×1=0,∴n1⊥⃗AB,n1⊥⃗AC, AB∩AC=A,∴n1也为平面ABC的一个法向量,又平面α与平面ABC不重合,∴平面α与平面ABC平行,故选A.6.已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,⃗VP=13⃗VC,⃗VM=23⃗VB,⃗VN=23⃗VD.则VA与平面PMN的位置关系是.答案平行解析如图,设⃗VA=a,⃗VB=b,⃗VC=c,则⃗VD=a+c-b,由题意知⃗PM=23b-13c,⃗PN=23⃗VD−13⃗VC=23a-23b+13c.因此⃗VA=32⃗PM+32⃗PN,所以⃗VA,⃗PM,⃗PN共面.又VA⊄平面PMN,所以VA∥平面PMN.7.已知⃗AB=(1,5,-2),⃗BC=(3,1,z),若⃗AB⊥⃗BC,⃗BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x+y=.3答案257解析由条件得{3+5-2z=0,x-1+5y+6=0,3\(x-1\)+y-3z=0,解得x=407,y=-157,z=4,∴x+y=407−157=257.8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.(1)证明:AC⊥BC1;(2)证明:AC1∥平面CDB1.证明由题得△ABC为直角三角形,AC⊥BC.所以AC,BC,C1C两两垂直.如图,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),D(32,2,0).(1)因为⃗AC=(-3,0,0),⃗BC1=(0,-4,4)...
