19.4向量应用必备知识基础练1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案D解析由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)]=-(-1,-2)=(1,2).2.在△ABC中,若(⃗CA+⃗CB)·(⃗CA−⃗CB)=0,则△ABC()A.是正三角形B.是直角三角形C.是等腰三角形D.形状无法确定答案C解析(⃗CA+⃗CB)·(⃗CA−⃗CB)=⃗CA2−⃗CB2=0,即|⃗CA|=|⃗CB|,所以CA=CB,则△ABC是等腰三角形.3.点O是△ABC所在平面内的一点,满足⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA,则点O是△ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线所在直线的交点答案D解析 ⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC,∴(⃗OA−⃗OC)·⃗OB=0,∴⃗OB·⃗CA=0,∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为△ABC三条高线所在直线的交点.4.在四边形ABCD中,若⃗AC=(1,3),⃗BD=(-6,2),则该四边形的面积为()A.√5B.2√5C.5D.10答案D解析 ⃗AC·⃗BD=0,∴AC⊥BD.∴四边形ABCD的面积S=12∨⃗AC||⃗BD|=12×√10×2√10=10.5.在Rt△ABC中,斜边BC的长为2,O是平面ABC内一点,点P满足⃗OP=⃗OA+12(⃗AB+⃗AC),则|⃗AP|=.答案12解析 ⃗OP=⃗OA+12(⃗AB+⃗AC),∴⃗OP−⃗OA=12(⃗AB+⃗AC),⃗AP=12(⃗AB+⃗AC),∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴|⃗AP|=1.6.一条河宽为8000m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所需时间为h.答案0.5解析如图,v实际=v船+v水,|v船|=20(km/h),|v水|=12(km/h),∴|v实际|=√|v船|2-|v水|2=√202-122=16(km/h).∴所需时间t=816=0.5(h).∴该船到达B处所需的时间为0.5h.7.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则(⃗AE+⃗AF)·⃗BD=.答案-92解析如图,以A为坐标原点,以AB所在直线为x轴,以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,1),∴C(2,1). E,F分别为BC,CD的中点,∴E2,12,F(1,1),∴⃗AE=2,12,⃗AF=(1,1),⃗BD=(-2,1).∴⃗AE+⃗AF=3,32,3∴(⃗AE+⃗AF)·⃗BD=3×(-2)+32×1=-92.8.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)(力的单位:牛顿,位移单位:米).(1)求F1,F2分别对质点所做的功;(2)求F1,F2的合力F对质点所做的功.解(1)⃗AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),W1=F1·⃗AB=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),W2=F2·⃗AB=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).∴力F1,F2对...
