1第七章随机变量及其分布7.5正态分布课后篇巩固提升必备知识基础练1.关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是()A.随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B.随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C.随机变量落在[-3σ,3σ]之外是一个小概率事件D.随机变量落在[μ-3σ,μ+3σ]之外是一个小概率事件答案D2.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2≤ξ≤1)=()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6答案C解析由题意可知正态曲线关于x=1对称,P(ξ>4)=1-P(ξ<4)=0.1,根据对称性可知,P(ξ<-2)=P(ξ>4)=0.1,故P(-2≤ξ≤1)=0.5-P(ξ<-2)=0.5-0.1=0.4.3.已知X~N(0,1),则X在区间(-∞,-2)内取值的概率为()A.0.9545B.0.0455C.0.9773D.0.02275答案D解析由题知对应的正态曲线的对称轴为x=0,所以P(X<-2)=0.5-12P(-2≤X≤2)≈0.5-12×0.9545=0.02275.4.若随机变量X~N(1,22),则D(12X)等于()A.4B.2C.12D.1答案D解析因为X~N(1,22),所以D(X)=4,所以D(12X)=14D(X)=1.5.若随机变量X~N(1,22),则Y=3X-1服从的总体分布可记为.答案Y~N(2,62)2解析 X~N(1,22),∴μ=1,σ=2,∴E(X)=1,D(X)=4.又Y=3X-1,∴E(Y)=3E(X)-1=2,D(Y)=9D(X)=62.∴Y~N(2,62).6.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为.答案10解析由题意知,P(ξ>110)=1-2P\(90≤ξ≤100\)2=0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.7.已知某地外来务工人员年均收入X服从正态分布,其正态曲线如图所示.(1)写出此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式;(2)求此地外来务工人员年均收入在8000~8500元的人数所占的百分比.解设此地外来务工人员年均收入X~N(μ,σ2),结合题图可知,μ=8000,σ=500.(1)此地外来务工人员年均收入的密度函数解析式为f(x)=1500√2πe-\(x-8000\)22×5002,x∈R.(2) P(7500≤X≤8500)=P(8000-500≤X≤8000+500)≈0.6827,∴P(8000≤X≤8500)=12P(7500≤X≤8500)≈0.34135=34.135%.故此地外来务工人员年均收入在8000~8500元的人数所占的百分比为34.135%.8.设X~N(4,1),证明P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).证明因为μ=4,所以正态曲线关于直线x=4对称,所以P(2≤x≤4)=P(4≤X≤6).又因为P(2≤X≤6)=P(2≤X≤4)+P(4≤X≤6),所以P(2≤X≤6)=2P(2≤X≤4).关键能力提升练39.若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)=1√2πe-x22,X在(-2,-1)和(1,2)内取值的概率分别为p1,p2,则p1,p2的关...
