高考大题专题研究(四)立体几何中的综合问题教材回扣·夯实“四基”基础知识1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得⃗OP＝λa.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α平面，取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量．(3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2l1∥l2u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2⇔u1·u2＝0直线l的方向向量为u，平面α的法向量为nl∥α(l⊄α)u⊥n⇔u·n＝0l⊥α,u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λnn1，n2分别是平面α，β的法向量α∥βn1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2α⊥βn1⊥n2⇔n1·n2＝03.利用空间向量求角(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得．也就是说，若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v|u||v||＝|u·v||u||v|.(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝|u·n|u||n||＝|u·n||u||n|.(3)平面与平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2|n1||n2||＝|n1·n2||n1||n2|.4．利用空间向量求距离(1)两点间的距离设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则⃗P1P2＝⃗OP2−⃗OP1＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．所以P1P2＝¿⃗P1P2|＝√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.(2)点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点．过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是⃗AP到直线l上的投影向量⃗QP的长度．因此PQ＝|⃗AP·n|n||＝|⃗AP·n|n||＝|⃗AP·n||n|.第1课时利用空间向量证明平行、垂直与利用空间向量求距离题型突破·提高“四能”题型一利用空间向...
