7．1点的坐标第一课时向量的坐标与两点之间的距离1．向量坐标的基本概念(1)先取一个点O作为基准点，称为原点．(2)取定这个基准点之后，任何一个点P的位置就由O到P的向量OP唯一表示，OP称为点P的位置向量．它表示点P相对于点O的位置．(3)在平面上取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为基，则OP可唯一地分解为：OP＝xe1＋ye2的形式，其中x，y是一对实数，(x，y)就是向量OP的坐标．2．向量的坐标从任意一点出发的向量的坐标，任一点A(x1，y1)，B(x2，y2)AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)．3．两点之间的距离若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.1．坐标能表示向量及点的位置吗？[提示]若OP＝(x，y)，则坐标唯一地表示了向量OP，也唯一地表示了点P的位置．2．若向量e1，e2能作为平面的一组基底，它能表示平面内的任意向量吗？[提示]能，作为平面内的任意向量p，存在唯一的一对实数λ1，λ2使得p＝λ1e1＋λ2e2.向量的坐标运算已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N的坐标及MN＋AB.[自主解答]法一：由A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，得CA＝(1,8)，CM＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)，CB＝(6,3)，CN＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，∴即∴M(0,20)．又CN＝(x2＋3，y2＋4)＝(12,6)，∴即∴N(9,2)．∴MN＝(9，－18)，又AB＝(5，－5)，∴MN＋AB＝(9，－18)＋(5，－5)＝(9，－18)＋(1，－1)＝(10，－19)．故M(0,20)，N(9,2)，MN＋AB＝(10，－19)．法二：取点O为原点，由CM＝3CA，得OM－OC＝3OA－3OC，即OM＝3OA－2OC＝3(－2,4)－2(－3，－4)＝(－6,12)＋(6,8)＝(0,20)，∴M(0,20)．由CN＝2CB，得ON－OC＝2OB－2OC，即ON＝2OB－OC＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(6，－2)＋(3,4)＝(9,2)，∴N(9,2)．又AB＝(5，－5)，MN＝(9，－18)，∴MN＋AB＝(10，－19)．向量的坐标等于它的终点坐标减去起点的坐标，解答本题的关键是求M，N点的坐标，利用向量相等通过待定系数法求M，N点的坐标．1．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)．AE＝AC，BF＝BC，求向量EF.解：设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， AC＝(2,2)，BC＝(－2,3)，∴AE＝AC＝，BF＝BC＝，∴(x1，y1)－(－1,0)＝，(x2，y2)－(3，－1)＝，∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝，∴EF＝(x2，y2)－(x1，y1)＝－＝.两点之间的距离公式已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|.并求|PA|的值．[自主...
