111.3余弦定理、正弦定理的应用必备知识基础练1.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为()A.6(3+√3)mB.6(3-√3)mC.6(3+2√3)mD.6(3-2√3)m答案B解析由{CDsin60°=BDsin\(90°-60°\),CDsin45°=ADsin\(90°-45°\)⇒{BD=√33CD,AD=CD⇒AB=AD+BD=(1+√33)CD=12⇒CD=6(3-√3)m,故选B.2.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于()A.asinαsinβsin\(β-α\)B.asinαsinβcos\(α-β\)C.asinαcosβsin\(β-α\)D.acosαsinβcos\(α-β\)答案A解析在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得asin\(β-α\)=ACsinα,∴AC=asinαsin\(β-α\),∴AB=ACsinβ=asinαsinβsin\(β-α\).23.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距8√2nmile,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是()A.8(√6+√2)nmile/hB.8(√6−√2)nmile/hC.16(√6+√2)nmile/hD.16(√6−√2)nmile/h答案D解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.由正弦定理,得SAsin105°=ABsin45°,即8√2sin105°=ABsin45°,解得AB=8(√6−√2),故此船的航速为8\(√6-√2\)12=16(√6−√2)(nmile/h).4.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cosθ等于()A.√217B.√2114C.3√2114D.√2128答案B解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,所以BC=20√7.由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=√217.由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cos∠ACB=2√77.故cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=√2114.35.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为√3海里,则x的值为.答案√3或2√3解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,即x2+9-2·x·3cos30°=(√3)2,即x2-3√3x+6=0,解得x=2√3或x=√3.6.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6nmile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、...
