1§4平面向量基本定理及坐标表示4.1平面向量基本定理课后篇巩固提升基础达标练1.设e1,e2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为一组基的组数有()①e1和e1+e2;②e1-2e2和e2-2e1;③e1-2e2和4e2-2e1;④2e1+e2和e1-e2.A.1组B.2组C.3组D.4组解析①设e1+e2=λe1,则{λ=1,1=0,无解,所以e1+e2与e1不共线,即e1与e1+e2可作为一组基;②设e1-2e2=λ(e2-2e1),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,则{1+2λ=0,2+λ=0,无解,所以e1-2e2与e2-2e1不共线,即e1-2e2与e2-2e1可作为一组基;③因为e1-2e2=-12(4e2-2e1),所以e1-2e2与4e2-2e1共线,即e1-2e2与4e2-2e1不可作为一组基;④设e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0,所以{1-λ=0,1+λ=0,无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,即e1+e2与e1-e2可作为一组基.答案C2.已知e1,e2为平面内所有向量的一组基,λ∈R,a=e1+λe2,b=2e1,则a与b共线的条件为()A.λ=0B.e2=0C.e1∥e2D.e1∥e2或λ=0解析因为e1,e2不共线,而a与b共线,所以λ=0.答案A3.设a,b为平面内所有向量的一组基,已知向量⃗AB=a-kb,⃗CB=2a+b,⃗CD=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于()A.2B.-2C.10D.-10解析⃗AD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=(a-kb)+(-2a-b)+(3a-b)=2a-(k+2)b.因为A,B,D三点共线,所以存在实数λ使得⃗AB=λ⃗AD,即a-kb=λ[2a-(k+2)b]=2λa-λ(k+2)b.因为a,b为基向量,2所以{2λ=1,λ\(k+2\)=k,解得λ=12,k=2.答案A4.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则()A.⃗AO=⃗ODB.⃗AO=2⃗ODC.⃗AO=3⃗ODD.2⃗AO=⃗OD解析由2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,得2⃗OA=-(⃗OB+⃗OC).因为D是BC的中点,所以⃗OB+⃗OC=2⃗OD,于是2⃗OA=-2⃗OD,即⃗AO=⃗OD.答案A5.(多选)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0解析由平面向量基本定理可知A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么平面内任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.对于C,当两向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,则这样的λ有无数个.故选BC.答案BC6.若e1,e2为平面内所有向量的一组基,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基,则k的值为.解析因为a,b不能作为一组基,所以存在实数λ,使得a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke...
