课时作业56圆锥曲线中的证明、定值及定点问题[基础落实练]1．[2022·重庆高三月考]在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C过点M(2，1).点P，Q在C上，且直线PQ不与坐标轴垂直．(1)求C的方程；(2)若直线MP，MQ的斜率存在，分别记为k1，k2，证明：PQ过O点的充要条件是k1·k2＝－.2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，P，Q是双曲线C上关于原点O对称的两点，直线FP与双曲线C的另一个交点是M，直线FQ与双曲线C的另一个交点是N.当点P的坐标为(2，2)时，|PF|＝7.(1)求双曲线C的标准方程；(2)当点P在双曲线C上运动时，证明：直线MN经过定点．3．已知圆O：x2＋y2＝，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于圆O半径的倍，C的离心率为.(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且与圆O相切，证明：△AOB为直角三角形．4.[2022·河北唐山高三开学考试]已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，点P(2，3)在E上．(1)求E的方程；(2)过点Q(0，1)的直线l交E于不同的两点A，B(均异于点P)，求直线PA，PB的斜率之和．[素养提升练]5．[2022·黄冈中学、华师附中等八校联考]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(2，1)，且离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)已知斜率为的直线l与椭圆C交于两个不同的点A，B，点P的坐标为(2，1)，设直线PA与PB的倾斜角分别为α，β，证明：α＋β＝π.6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为k1，k2.①求证：k1k2为定值；②试问|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
