1第二章圆锥曲线§3抛物线3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升合格考达标练1.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为()A.14B.-14C.4D.-4答案B解析由y=ax2,变形得x2=1ay, 抛物线的准线方程是y=1,∴-14a=1,解得a=-14.2.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2√3,则点P到抛物线的焦点F的距离为()A.4B.5C.6D.7答案A解析由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为x=-1, 抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2√3,则P(3,±2√3),∴点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.3.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是()A.2B.3C.4D.0答案B解析因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0,因为z=x2+12y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z最小,其最小值为3.4.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.482答案C解析不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),依题意,l⊥x轴,且焦点Fp2,0, 当x=p2时,|y|=p,∴|AB|=2p=12,∴p=6,又点P到直线AB的距离为p2+p2=p=6,故S△ABP=12|AB|·p=12×12×6=36.5.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是()A.1B.2C.0D.无数个答案B解析因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上,又焦点F12,0,由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的圆有2个.6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23−y23=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.答案6解析抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2,代入x23−y23=1得|x|=√3+p24.要使△ABF为等边三角形,则tanπ6=|x|p=√3+p24p=√33,解得p2=36,p=6.7.抛物线x2=4y的焦点为F,过点F作斜率为√33的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则△AHF的面积是.答案4√3解析由抛物线的定义可得|AF|=|AH|, 直线AF的斜率为√33,∴AF的倾斜角为30°. 直线AH垂直于准线,3∴∠FAH=60°,故△AHF为等边三角形.设Am,m24,m>0,过F作FM⊥AH于点M,则在△FAM中,|AM|=12|AF|,∴m24-1=12m24+1,解得m=2√3,故等边三角形AHF的边长|AH|=4,∴△AHF的面积是12×4×4sin60°=4√3.8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M0,-p2, ...
