15.2平面与平面垂直课后篇巩固提升基础达标练1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面()A.有且只有一个B.有一个或两个C.有且仅有两个D.有一个或无数个答案D2.下列命题中正确的是()A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,故A错;由平面与平面垂直的判定定理知,B,D错,C正确.答案C3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.答案D4.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=√2,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,则CD=.2解析如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.又CE⊂平面ABC,可知DE⊥CE.由已知可得DE=√3,EC=1,在Rt△DEC中,CD=√DE2+CE2=2.答案25.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.证明如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于D.因为平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB.所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,又因为PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,所以BC⊥AB.3能力提升练1.(多选)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中正确的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC解析如图所示,因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,所以A正确.由BC⊥PE,BC⊥AE,AE∩PE=E,所以BC⊥平面PAE,所以DF⊥平面PAE,所以B正确.因为BC⊂平面ABC,BC⊥平面PAE,所以平面ABC⊥平面PAE,所以D正确.答案ABD2.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段AN的长为,线段MN的长为.解析由题意可知在△ADN中,∠ADN=90°,因此AN=√5;再取CD的中点G,...
