19.2.3向量的数量积必备知识基础练1.若p与q互为相反向量,且|p|=3,则p·q等于()A.9B.0C.-3D.-9答案D解析由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.2.在等腰直角三角形ABC中,若∠C=90°,AC=√2,则⃗BA·⃗BC的值等于()A.-2B.2C.-2√2D.2√2答案B解析⃗BA·⃗BC=|⃗BA||⃗BC|cos∠ABC=2×√2×cos45°=2.3.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|=√19,则|a-b|等于()A.√7B.√13C.√15D.√17答案A解析因为|a+b|2=19,所以a2+2a·b+b2=19,所以2a·b=19-4-9=6.于是|a-b|=√|a-b|2=√4-6+9=√7.4.已知|a|=8,|b|=4,a与b的夹角为120°,则向量b在a上的投影向量为()A.14aB.-14aC.12aD.-12a答案B解析向量b在a上的投影向量为|b|cos120°a|a|=4×-12a8=-a4.5.已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析设向量a与b的夹角为θ.因为a·(a+b)=a2+a·b=4+2cosθ=3,2所以cosθ=-12.又因为θ∈[0,π],所以θ=2π3.6.已知向量a,b方向相同,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|等于()A.16B.256C.8D.64答案A解析方法一 |2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256,∴|2a+3b|=16.方法二由题意知2a=b,∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16.7.设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b等于()A.1B.2C.3D.5答案A解析|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,①|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,②由①-②得4a·b=4,∴a·b=1.8.若两个单位向量a,b的夹角为120°,k∈R,则|a-kb|的最小值为()A.34B.√32C.1D.32答案B解析 单位向量a,b的夹角为120°,∴a·b=|a||b|cos120°=-12,则|a-kb|2=a2-2ka·b+k2b2=1+k+k2=(k+12)2+34≥34,可得当k=-12时,|a-kb|的最小值为√32.9.在△ABC中,AB=6,O为△ABC的外心,则⃗AO·⃗AB等于()A.√6B.6C.12D.18答案D解析3如图,过点O作OD⊥AB于D,可知AD=12AB=3,则⃗AO·⃗AB=(⃗AD+⃗DO)·⃗AB=⃗AD·⃗AB+⃗DO·⃗AB=3×6+0=18.10.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=.答案-92解析 e1·e2=|e1||e2|cos60°=12,∴(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e12+7e1·e2-2e22=-92.11.已知a,b均为单位向量,若|a-2b|=√3,则向量a与b的夹角为.答案π3解析由|a-2b|=√3,得(a-2b)2=3,即a2+4b2-4a·b=3,设单位向量a与b的夹角为θ,则有1+4-4cosθ=3,解得cosθ=12.又θ∈[0,π],所以θ=π3.12.已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为.答案e解析设a与b的夹角为θ,a在b上的投影向量为|a|ecosθ=2×12e=e.13.已知|⃗OA|=|⃗...
