课后限时集训(五十二)直线与椭圆建议用时：40分钟一、选择题1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)B[由得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意可知解得又m＞0，且m≠3，∴m＞1且m≠3.故选B.]2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．B．C．D．B[由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.]3．(2020·沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C：＋＝1，过点P(2,1)的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段AB中点，则|AB|＝()A．B．C．D．D[设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由两式相减得：＋＝0，化简得：＝－1，∴直线AB的斜率为－1，又 直线AB过点P(2,1)，∴直线AB的方程为：y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋3，联立方程消去y得3x2－12x＋10＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝，∴|AB|＝·＝，故选D.]4．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线y＝x＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为，则椭圆C的方程为()1A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1B[将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9，＝＝，则＝，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为＋＝1.]5．直线l过椭圆＋y2＝1的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为()A．B．±C．±D．B[由＋y2＝1，得a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝2－1＝1，则c＝1，则左焦点F(－1,0)．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋k.设l与椭圆交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.则PQ的中点M的横坐标为＝－.因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，所以－＝－，解得k＝±.]6．(多选)(2020·福建侨光中学月考)在平面内，若曲线C上存在点P，使点P到点A(3,0)，B(－3,0)的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”．以下曲线是“有用曲线”的是()A．x＋y＝5B．x2＋y2＝9C．＋＝1D．x2＝16yACD[设点P的坐标为(x，y)，由点P到点A(3,0)，B(－3,0)的距离之和为10，可得点P的轨迹方程为＋＝1.对于A，由整理得41x2－250x＋225＝0，Δ＝25...
