1高考原生态满分练1函数与导数[典例](本题满分12分)(2021·新高考Ⅰ,22)已知函数f(x)=x(1-lnx).(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明:2<1a+1b0,解得01.所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.3分(2)证明由blna-alnb=a-b得lnaa+1a=lnbb+1b,即f(1a)=f(1b).(方法一)令x1=1a,x2=1b,则f(x1)=f(x2).4分由(1)知,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,且当x∈(0,e)时,f(x)>0,当x∈(e,+∞)时,f(x)<0,因此可设02.要证x1+x2>2,即证x2>2-x1.因为02-x1>1,又f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,所以只需证明f(x2)0,即g(t)在区间(0,1)上单调递增,于是当02成立.8分4②再证x1+x2x.9分若设f(x1)=f(x2)=m,直线y=x与直线y=m的交点坐标为(m,m),则x10,即h(t)在区间(1,e)上单调递增,因此当1a>0,由(1)知1a>1,0<1b<1.4分若1a≥2,则1a+1b>2成立,若1<1a<2,设s(x)=f(x)-f(2-x),1
