1.2.7二次函数的图象和性质——增减性和最值[学习目标]1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值．[知识链接]1．函数y＝x2－2x－3的对称轴为x＝1，该函数的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)．2．函数y＝x2的最小值为0.[预习导引]二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－]上递减(递增)，在[－，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－处取到最小(大)值f(－)＝－，这里Δ＝b2－4ac.点(－，－)叫作二次函数图象的顶点.要点一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数解析式．解方法一利用二次函数一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．则由①②得b＝－a，则2a＋c＝－1，即c＝－2a－1.代入③整理得a2＝－4a，解得a＝－4，或a＝0(舍去)．∴b＝4，c＝7.因此所求二次函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.方法二利用二次函数顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝，即m＝.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8， f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1.解之得a＝－4.∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三利用两根式．由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1.故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，∴＝8.解之得a＝－4.∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.规律方法用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)．跟踪演练1已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求f(x)的解析式．解设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x，∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x，∴∴∴f(x)＝x2＋2x－1.要点二二次函数的增减性例2f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求m的取值范围．解函数的顶点横坐标为x＝，又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数，∴≤－2，即m≤－16，故m的取值范围是{m|m≤－16}．规律方法f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在(－∞，－]上是递减函数，在[－，＋∞)上是递增函数．跟踪演练2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5...
