16.3球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1.如图,各棱长都相等的三棱锥内接于一个球,则经过球心的一个截面图形可能是()A.①③B.①②C.②④D.②③答案A2.已知正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,则该棱柱外接球的表面积为()A.21πB.42πC.84πD.84解析如图,M,N为上下底面正三角形的中心,O为MN的中点,即外接球球心.因为正三棱柱A1B1C1-ABC的所有棱长都是6,AM=23√62-32=2√3,OM=3,球半径R=OA=√\(2√3\)2+32=√21,该棱柱外接球的表面积为S=4π×(√21)2=84π.答案C3.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为.解析设大球与小球半径分别为R,r,则{R-r=1,4πR2-4πr2=28π,所以{R=4,r=3.所以体积和为43πR3+43πr3=364π3.2答案364π34.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为9π2,则正方体的棱长为.解析设球的半径为R,正方体棱长为a,则V球=43πR3=92π,得到R=32,正方体体对角线的长为√3a=2R,则a=√3,所以正方体的棱长为√3.答案√35.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=13π3.能力提升练1.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2cm,那么该棱柱的表面积为()A.2+4√2(cm2)B.8+16√2(cm2)C.4+8√2(cm2)D.16+32√2(cm2)解析设正四棱柱的高为h,则由题意及球的性质可得,√22+22+h2=2R=4,所以h=2√2(cm),所以该棱柱的表面积为2×22+4×2×2√2=8+16√2(cm2),故选B.答案B2.圆柱形容器内盛有高度为6cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球,如图所示.则球的半径是()A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm解析设球半径为r,则由3V球+V水=V柱,可得3×43πr3+πr2×6=πr2×6r,解得r=3.答案C3.3(2019浙江温州期末)如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,则圆柱的体积与球的体积之比为,圆柱的表面积与球的表面积之比为.解析由题意,圆柱底面半径r=球的半径R,圆柱的高h=2R,则V球=43πR3,V柱=πr2h=π·R2·2R=2πR3,所以V柱V球=2πR343πR3=32.S球=4πR2,S柱=2πr2+2πrh=2πR2+2πR·2R=6πR2.所以S柱S球=6πR24πR2=32.答案32324.(2020黑龙江齐齐哈尔模拟)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为4cm,该纸片上的正方形AB...
