11.5向量的数量积1.5.1数量积的定义及计算必备知识基础练1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于()A.9B.0C.-3D.-9答案D解析由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.2.(2021江苏南京期末)已知正方形ABCD的边长为3,⃗DE=2⃗EC,则⃗AE·⃗BD=()A.3B.-3C.6D.-6答案A解析如图,因为正方形ABCD的边长为3,⃗DE=2⃗EC,所以⃗AE·⃗BD=(⃗AD+⃗DE)·(⃗AD−⃗AB)=⃗AD+23⃗AB·(⃗AD−⃗AB)=|⃗AD|2-13⃗AD·⃗AB−23∨⃗AB|2=32-23×32=3.故选A.3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若⃗AD·⃗BE=12,则AB的长为()A.12B.1C.32D.2答案D解析设AB的长为a,因为⃗AD=⃗BC,所以⃗AD·⃗BE=⃗BC·⃗BE=⃗BC·(⃗BC+⃗CE)=|⃗BC|2+⃗BC·⃗CE=1+1·a2·cos120°=12,解得a=2.4.(2019全国Ⅰ高考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B解析因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,2所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为π3,故选B.5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有()A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|答案ABC解析 a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.设⃗AB=a,⃗AD=b,当a⊥b时,以AB,AD为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以AB,AD为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.6.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则⃗AB·⃗BC的值是.答案-1解析(方法1)⃗AB·⃗BC=|⃗AB||⃗BC|cos(180°-∠B)=-|⃗AB||⃗BC|cos∠B=-|⃗AB||⃗BC∨|⃗AB||⃗BC|=-|⃗AB|2=-1.(方法2)|⃗BA|=1,即⃗BA为单位向量,⃗AB·⃗BC=-⃗BA·⃗BC=-|⃗BA||⃗BC|cos∠ABC,而|⃗BC|cos∠ABC=|⃗BA|,所以⃗AB·⃗BC=-|⃗BA|2=-1.7.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.证明(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=1×1×(-12)-1×1×(-12)=0,3故(a-b)⊥c.8.已知向量a,b满足|a|=√2,|b|=1.(1)若a,b的夹角...
