17.2.2复数的乘、除运算课后练习题一、选择题：1．设复数z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若z1z2∈R,则x等于()A.-2B.-1C.1D.22．集合M={x|x=in+1,n∈N}的真子集的个数是()A.1B.15C.3D.163．设z的共轭复数是z,若z-z=4i,z·z=8,则z=()A.-2-2iB.2+2iC.-2+2iD.2+2i或-2+2i4．复数z=m-2i1+2i(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于()[来源:Z*xx*k.CA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．若(1+i1-i)n+(1-i1+i)n=2,则n的值可能为()A.4B.5C.6D.7二、填空题：6．设i为虚数单位,则复数\(1+i\)21-i=.7．若a∈R,且a+i2+i是纯虚数,则a=.8．已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,那么z=.三、解答题：9．若4-3mi3+mi(m∈R)为纯虚数,求(2+mi2-mi)4的值.10．已知z是虚数,求证:z+4z是实数的充要条件是|z|=2.237.2.2复数的乘、除运算课后练习题答案一、选择题：1．答案：A解析：∵z1z2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(x+2)i,又∵z1,z2∈R,∴x+2=0,∴x=-2.2．答案：B解析：当n∈N时,x=in+1的值只有i,-i,1,-1,故M中有4个元素,所以M一共有24-1=15个真子集.3．答案：D解析：设z=x+yi(x,y∈R),则z=x-yi,依题意有{\(x+yi\)-\(x-yi\)=4i,\(x+yi\)\(x-yi\)=8,即{2yi=4i,x2+y2=8,解得{x=2,y=2或{x=-2,y=2.即z=2+2i或-2+2i.4．答案：A解析：由已知z=m-2i1+2i=\(m-2i\)\(1-2i\)\(1+2i\)\(1-2i\)=15[(m-4)-2(m+1)i]在复平面内的对应点如果在第一象限,则{m-4>0,m+1<0.而此不等式组无解,即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.5．答案：A解析：∵1+i1-i=i,1-i1+i=-i,∴in+(-i)n={2,n=4k,0,n=4k+1,-2,n=4k+2,0,n=4k+3k∈N+,∴n的值可能为4.二、填空题：6．答案：-1+i解析：\(1+i\)21-i=\(2i\)\(1+i\)2=-1+i.7．答案：-124解析：a+i2+i=\(a+i\)\(2-i\)\(2+i\)\(2-i\)=\(2a+1\)+\(2-a\)i5,因此必有2a+1=0,a=-12.8．答案：2+i解析：由(1+2i)z=4+3i,得z=4+3i1+2i=2-i,∴z=2+i.三、解答题：9．解：因为4-3mi3+mi=\(4-3mi\)\(3-mi\)9+m2=\(12-3m2\)-13mi9+m2是纯虚数,所以{12-3m2=0,-13m≠0,解得m=±2.于是当m=2时,(2+mi2-mi)4=(2+2i2-2i)4=(1+i1-i)4=i4=1;当m=-2时,(2+mi2-mi)4=(2-2i2+2i)4=(1-i1+i)4=(-i)4=1.综上,(2+mi2-mi)4=1.10．证明：设z=x+yi(x,y∈R,y≠0).则z+4z=x+yi+4x+yi=x+yi+4x-4yix2+y2=(x+4xx2+y2)+(y-4yx2+y2)i.(充分性)当|z|=2时,x2+y2=4,y-4yx2+y2=0,x+4xx2+y2=2x∈R,故z+4z是实数;(必要性)当z+4z是实数时,必有y-4yx2+y2=0,又y≠0,所以x2+y2=4,即|z|=2.因此z+4z是实数的充要条件是|z|=2.
