14.5.2几种简单几何体的体积必备知识基础练1.(2021甘肃兰州高一期末)用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为()A.32π3B.8π3C.8√2πD.8√2π3答案D解析截面半径r=1,所以球的半径R=√12+12=√2,所以球的体积V=43πR3=8√2π3.故选D.2.将圆锥的高缩短到原来的12,底面半径扩大到原来的2倍,则圆锥的体积()A.缩小到原来的一半B.缩小到原来的16C.不变D.扩大到原来的2倍答案D解析设圆锥原来的高和底面半径分别为h和r,圆锥原来体积为V1,变化后为V2,∴V1=13πr2h,∴V2=13π·(2r)2h2=23πr2h=2V1,即圆锥的体积扩大到原来的2倍.故选D.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中《商功》有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及为粟几何?”意思是:“有粟若干,堆积在平地上,底面圆周长为12丈,高为2丈,问它的体积和粟各为多少?”如图,主人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为3,一斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算:1立方丈=106立方寸),一斛粟米卖270钱,一两银子1000钱,则主人卖后可得银子()A.800两B.1600两C.2400两D.3200两答案A解析底面半径为r=122×3=2(丈),V=13×3×22×2=8(立方丈)=8×106(立方寸)=8000027(斛),故8000027×270÷1000=800(两).24.(2021甘肃天水一中高一期末)一个长方体从一个顶点出发的三条棱长分别是√3,√3,√6,这个长方体的八个顶点都在同一个球面上,这个球的体积是.答案4√3π解析设球的半径为R,所以(2R)2=(√3)2+(√3)2+(√6)2,解得R=√3,则球的体积V球=43·π·(√3)3=4√3π.5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心.若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为.答案a36解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心,棱长为a,易得对角线AC⊥平面BDD1B1,故三棱锥O-AB1D1的体积为V三棱锥O-AB1D1=V三棱锥A-OB1D1=13·S△OB1D1·AO=16B1D1·BB1·AO=a36.6.如图,一个四棱柱形容器中盛有水,在底面ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=1,侧棱AA1=4.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过边AD,BC,B1C1,A1D1的中点,则当底面ABCD水平放置时,水面高为.答案52解析设四棱柱的底面梯形的高为2a,AD,BC的中点分别为F,E,所求的水面高为h,则水的体积V水=S四边形ABEF·AA1=\(2+3\)a2·4=S四边形ABCD·h=\(1+3\)·2a2·h,解得h=52.7.(2021甘肃民勤四中高一期末)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥.3(1)求剩余部分的体积;(2)求三棱锥A-A1BD的高.解(1)由题意,正方体ABCD-A1B1C1...
