第2课时直线与椭圆考点一直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m＞1B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5D[ 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，只需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D.]2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．点评：(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方1程组成的方程组解的个数；(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．考点二弦长及中点弦问题1．弦长问题常用“根与系数的关系”设而不求，利用弦长公式|AB|＝·＝，(A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)计算弦长．2．中点弦问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．弦长问题[典例1－1]已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆C的一个焦点．点M(0,2)，直线MF的斜率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|＝|MN|，求l的方程．[解](1)由题意，可得解得则b2＝a2－c2＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，|MN|＝2，|AB|≠|MN|，不合题意，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋2，联立得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0.设A(x1，y1)，B(...
